数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: (自信無し)開集合,閉集合,compact等の表の穴埋め問題 / Page: 0]

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■30150 / inTopicNo.1)

　(自信無し)開集合,閉集合,compact等の表の穴埋め問題

□投稿者/ miwa 一般人(1回)-(2007/12/11(Tue) 06:04:45)

こんにちは。

A=(-∞,1)∪(2,+∞)
B={(1+(-1)^n)/n;n∈N}
C=∩[n=1..∞](-1/n,2+1/n)

に於いて、次の表を埋めよ。
という問題です。

B={(1+(-1)^n)/n;n∈N}(={0,1,0,1/2,0,1/3,…})
C=∩[n=1..∞](-1/n,2+1/n)(=[0,2])
A^c=[1,2]
と書き直す事ができると思います。

＼ open,closed,compact,limit points,interior points,isolated points
A, Yes, No , ? , {1,2} , A , φ
B, No , Yes , Yes , 0 , φ , B
C, No , Yes , Yes , {0,2} , (0,2) ,　φ
A^c,No , Yes , Yes , {1,2} , (1,2) , φ
B^c,Yes, No , ? ,{0,1,0,1/2,…}, B^c , φ

となんとか分かったのですが間違ってないでしょうか?
また、?の部分はどうしても分かりませんでした。どうやって判定できますでしょうか?
(※limit pointは集積点の事です)

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■30151 / inTopicNo.2)

　Re[1]: (自信無し)開集合,閉集合,compact等の表の穴埋め問題

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス一般人(10回)-(2007/12/11(Tue) 08:58:02)

2007/12/11(Tue) 09:04:12 編集(投稿者)

まず３つの集合は
$2$A=(-\infty,1)\cup(2,\infty),B={0,1,\frac{3}{2},\frac{2}{3},\frac{5}{4}...},C=[0,2]$ とかけます。

ほとんど大丈夫かと思いますが、コンパクト性や集積点が苦手のようです。
一応、ここで直感的な判定法を書いておきます。ただし、ユークリッド空間 $2$R^n$ で通常の距離位相をいれたときの場合です。

・開集合
蓋（境界）がついていない。

・閉集合
蓋（境界）がついてる。

・コンパクト性
コンパクト⇔有界閉集合（これは、ユークリッド空間 $2$R^n$ で通常の距離位相をいれたときの場合は成り立ちます。一般には成立しません。）

・集積点
$2$a_n\neq a$ であるが $2$\lim a_n=a$ となる点列 $2${a_n}$ が作れる。

・内点
十分小さい近傍でその集合の内部に含まれるものがとれる。

・孤立点
十分小さい近傍でその近傍内の点は一点であるものがとれる。

Ａは $2$R$ の部分集合で、有界閉集合ではありませんので、コンパクトではありません。 $2$B^c$ も同様です。

集積点について集合が密であれば、内点も集積点になりえます。
たとえば、Ｃの元の点列として、 $2$a_n=1-(\frac{1}{10})^n$ とすれば $2$a_n\neq 1$ 、 $2$a_n \in C$ であるが $2$\lim a_n=1$ ですので１もＣの集積点です。

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■30169 / inTopicNo.3)

　Re[2]: (自信無し)開集合,閉集合,compact等の表の穴埋め問題

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□投稿者/ miwa 一般人(2回)-(2007/12/12(Wed) 00:21:11)

容易な判定法のご紹介誠に有難うございました。大変助かってます。

＼ open,closed,compact,limit points,interior points,isolated points
A, Yes, No , No, {1,2} , A , φ
B, No , Yes , Yes , 0 , φ , B
C, No , Yes , Yes , {0,2} , (0,2) ,　φ
A^c,No , Yes , Yes , {1,2} , (1,2) , φ
B^c,Yes, No , No ,{0,1,0,1/2,…}, B^c , φ

で完成なのですね。

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■30173 / inTopicNo.4)

　Re[3]: (自信無し)開集合,閉集合,compact等の表の穴埋め問題

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス一般人(12回)-(2007/12/12(Wed) 15:10:56)

集積点以外はすべて大丈夫のはずです。

集積点の判定法を

$2$a_n\neq a$ であるが $2$\lim a_n=a$ となる点列が作れる、といいましたがこれは

『点aの十分近いところにa以外の点があるか』という言いかたも出来ます。

（１）では任意に $2$A$ の点 $2$a$ を考えれば、 $2$a$ に十分近いとこに $2$a$ ではない点があるということがイメージできるでしょうか？例えば $2$a=3$ とすれば、 $2$3.01,3.001,3.0001,\cdots$ などはすべて $2$A$ に含まれますので、3はＡの集積点で、それは他の元でも同じです。そのとき境界である1,2にも注意して下さい。よって、Ａの集積点は $2$(-\infty,1][2,\infty)$ となります。

（２）は元同士は決してつながっていませんが、１に収束する点列がつくれます。 $2$a_n=1+\frac{(-1)^n}{n}$ とすればいいですよね。０に収束する点列は作れませんので、０はＢの集積点ではありません。よって、Ｂの集積点は１となります。

ここまでくればあと同じ考え方で大丈夫です。

Ｃの集積点はＣ自身、 $2$A^c$ の集積点は $2$A^c$ 自身、 $2$B^c$ の集積点は $2$R$ 全体となります。

あと、多分今、距離空間をならっていらっしゃるかとおもいますが、今後、どこ上の開集合なのか（つまり、距離空間 $2$(X,d)$ の $2$X$ がなんなのか）を考えることがありますが、その際は姿は同じでも開集合でなかったり、開集合だったりしますので、定義はしっかり覚えておくことをお勧めします。

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■30201 / inTopicNo.5)

　Re[4]: (自信無し)開集合,閉集合,compact等の表の穴埋め問題

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□投稿者/ miwa 一般人(3回)-(2007/12/14(Fri) 00:27:05)

A=(-∞,1)∪(2,+∞)
B={(1+(-1)^n)/n;n∈N}={0,1,3/2,2/3,5/4,…}
C=∩[n=1..∞](-1/n,2+1/n)

＼ open,closed,compact,limit points,interior points,isolated points
A, Yes, No , No, (-∞,1]∪[2,+∞) , A , φ
B, No , Yes , Yes , 1 , φ , B
C, No , Yes , Yes , C , (0,2) ,　φ
A^c,No , Yes , Yes , A^c , (1,2) , φ
B^c,Yes, No , No ,R, B^c , φ

で完成なのですね。

解決済み!

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