 | 初めに断っておきますが、積分を使う必要は全くありません。
回転させる立体に含まれる三角形のどれを回転させれば目的の回転体になるか
特定するのが最初の作業になります。
まず四面体PABCを△BPQを含む平面で二つの四面体
BPQC,BAPQ
に分割して考えます。
(i)四面体BPQCについて
△CPQは鋭角三角形ですので線分CP上に直線CPとlとの最短距離を取る点が存在します。
従って、四面体BPQCを回転させた場合、
△BPQ,△BCQ
による回転体を重ね合わせたものになります。
ここで△APQに対して余弦定理を使うことにより
PQ=7>5=CQ
∴△BPQをBQが一致するように△BCQと重ねた場合、△BCQは△BPQに含まれてしまいますので
結局四面体BPQCによる回転体は△BPQによる回転体と一致します。
(ii)四面体BAQPについて
△APQに注目すると
π/2<∠AQP<π
ですので四面体BAQPによる回転体は
△BPQ,△ABQ
による回転体を重ね合わせたものになります。
以上より問題の回転体は
△BPQ,△ABQ
による回転体を重ね合わせたものになります。
そこで体積の計算ですが、
△BPQ,△ABQによる回転体の体積をV1,V2,これらの回転体の重なり部分の体積をV3
とすれば、
求める体積Vは
V=V1+V2-V3
で計算できます。
V1,V2,V3の計算ですが、これらはいずれも円錐の組み合わせになっています。
例えばV1の計算だと、Pからlに下ろした垂線の足をRとしたとき
V1=(△PBRによる円錐の体積)+(△PQRによる円錐の体積)
といった具合です。
V3の計算は△ABQと△BPQをBQを一致させるように重ねたときの共通部分となる
三角形による回転体を考えましょう。
では頑張って下さい。
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