数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 回転体の体積 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ3 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■29977 / inTopicNo.1)

　回転体の体積

▼■

□投稿者/ ｋａｍｅ一般人(3回)-(2007/12/05(Wed) 23:03:23)

次の問題の解き方を教えてください。
空間内の三点A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)を通る円が囲む円板をDとする。この円板Dのx軸の周りの回転体の体積を求めよ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■30236 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 回転体の体積

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン一般人(11回)-(2007/12/16(Sun) 14:50:45)

ｋａｍｅさん，こんばんわ。

> 次の問題の解き方を教えてください。
> 空間内の三点A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)を通る円が囲む円板をDとする。この円板Dのx軸の周りの回転体の体積を求めよ。

添付の図を参照してください。

$2$P(0,0,t)$ を通り， $2$z$ 軸に垂直な平面 $2$\pi(t)$ と円板の交点を $2$Q,R$ ， $2$P$ から線分 $2$QR$ へ下ろした垂線の足を $2$H$ ，また円板の中心を $2$G(1/2,1/2,1/2)$ とし， $2$G$ から $2$z$ 軸へ下ろした垂線の足を $2$S(0,0,1/2)$ とします。

このとき，回転体を平面 $2$\pi(t)$ で切ったときの切り口は線分 $2$QR$ を $2$z$ 軸の周りに回転してできるドーナツ型の部分の面積 $2$S(t)$ に等しいことに注目し，以下 $2$S(t)$ を求めます。

$2$\triangle{CPH}$ と $2$\triangle{CSG}$ は相似だから，
$2$ |1-t|:\frac{1}{2} = PH:\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Longleftrightarrow PH = \sqrt{2}|1-t|$

314×218 => 250×173

1197784245.jpg/11KB

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■30237 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 回転体の体積

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン一般人(12回)-(2007/12/16(Sun) 15:21:04)

すみません，上記レスは削除してください。（※図が間違ってましたΣ(￣ロ￣lll)）

添付の図を参照してください。

$2$P(0,0,t)$ を通り， $2$z$ 軸に垂直な平面 $2$\pi(t)$ と円板の交点を $2$Q,R$ ， $2$P$ から線分 $2$QR$ へ下ろした垂線の足を $2$H$ ，また円板の中心を $2$G(1/3,1/3,1/3)$ とし， $2$G$ から $2$z$ 軸へ下ろした垂線の足を $2$S(0,0,1/3)$ とします。

このとき，回転体を平面 $2$\pi(t)$ で切ったときの切り口は線分 $2$QR$ を $2$z$ 軸の周りに回転してできるドーナツ型の部分の面積 $2$S(t)$ に等しいことに注目し，以下 $2$S(t)$ を求めます。

$2$\triangle{CPH}$ と $2$\triangle{CSG}$ は相似だから，
$2$ GH:GC=SP:SC \\ \Longleftrightarrow GH:\frac{\sqrt{5}}{3}=|t-\frac{1}{3}|:\frac{2}{3} \\ \Longleftrightarrow GH=\frac{\sqrt{5}}{2}|t-\frac{1}{3}|$
$2$\triangle{GHQ}$ に三平方の定理を適用して，
$2$ GH^{2}+QH^{2} = GQ^{2} \\ \Longleftrightarrow \frac{5}{4}\left(t-\frac{1}{3}\right)^{2}+QH^{2}=\frac{5}{9} \\ \Longleftrightarrow QH^{2} = -\frac{5}{4}t^{2}+\frac{5}{6}t+\frac{5}{12}$

よって，
$2$ S(t)=\pi(PQ^{2}-PH^{2}) \\ =\pi QH^{2} \\ =-\frac{5}{4}t^{2}+\frac{5}{6}t+\frac{5}{12}$
となるから，これを円板の存在する $2$z$ 座標の範囲で積分すればよいことになります。CGの延長と円周の交点を $2$T(x,y,z)$ とすると $2$CT$ の中点が $2$G$ であるから，
$2$ \frac{x}{2} = \frac{1}{3},\frac{y}{2}=\frac{1}{3},\frac{z+1}{2}=\frac{1}{3} \\ \Longleftrightarrow x = \frac{2}{3},y=\frac{2}{3},z=-\frac{1}{3}$
よって，円板が存在する $2$z$ 座標の範囲は
$2$ -\frac{1}{3}\leq z \leq 1$
となり，求める体積は，
$2$ V = \displaystyle\int_{-1/3}^{1}S(t)dt \\ =\displaystyle\int_{-1/3}^{1}\left(-\frac{5}{4}t^{2}+\frac{5}{6}t+\frac{5}{12}\right)dt$
となります。

294×224 => 250×190

1197786064.jpg/11KB

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■30238 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 回転体の体積

▲▼■

□投稿者/ ｋａｍｅ一般人(8回)-(2007/12/16(Sun) 20:07:31)

図を用いたわかりやすい説明をどうもありがとうございました。もう一度じっくり考えてみます★

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター