 | C1:y=x^2 (A)
とします。
C2の半径をrとするとC2の方程式は
(x-t)^2+(y-2)^2=r^2
題意からC2は点(0,0)を通りますので
r^2=t^2+4
∴C2:(x-t)^2+(y-2)^2=t^2+4 (B)
(1)
題意から(A)(B)をx,yについての連立方程式と見てyを消去した方程式
(x-t)^2+(x^2-2)^2=t^2+4 (C)
の解がa,b,c,0であることが分かります。
ここで(C)より
x^2-2tx+x^4-4x^2=0
x(x^3-3x-2t)=0
∴a,b,cはxの三次方程式
x^3-3x-4t=0
の解ですので、解と係数の関係より
a+b+c=0 (D)
一方、△ABCの重心のx座標は(a+b+c)/3ですので
(D)より△ABCの重心のx座標は0
よって問題の命題は成立します。
(2)
方針だけ。
(1)の過程から問題はxの三次方程式
x^3-3x-2t=0
が異なる三つの実数解を持つためのtの値の範囲を求めることに帰着します。
そこで
f(x)=x^3-3x-2t
と置いてy=f(x)のグラフがx軸と異なる三点で交わる条件を考えましょう。
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