 | > 問い１
> xy平面上の領域{(x,y)|0≦x≦8,0≦y≦8}に含まれるように、一辺の長さが3の赤い正方形の板と青い正方形の板を1枚ずつ配置する配置の仕方は全部で何通りあるか
赤い板の置き方は６^2＝３６通り。青い板の置き方も６^2＝３６通り。
だから、赤と青の板が重なる部分がある場合も含めると、全部で３６^2(通り)の配置の仕方があります。そこから、赤と青の板が重なる部分がある場合の数を引けば求める数がで出せます。
青い板の左隅の点の座標を(a,b)としたときに、それと重なる部分がある赤い板が何通りあるかの数をＦ(a,b)とおきます。
すると、Ｆ(0,0)＝3×3、Ｆ(1,0)＝3×4、Ｆ(1,0)＝3×5 のようになりますね。
同様にして
∑[b:0～5]Ｆ(0,b)＝(3×3)＋(3×4)＋(3×5)＋(3×5)＋(3×4)＋(3×3)＝3×24
∑[b:0～5]Ｆ(1,b)＝(4×3)＋(4×4)＋・・＋(4×4)＋(4×3)＝4×24
同様にして、∑[b:0～5]Ｆ(2,b)＝5×24、・・・、∑[b:5～5]Ｆ(2,b)＝3×24
よって、赤と青の板が重なる部分がある場合の総数＝24^2
したがって、求める数＝36^2－24^2＝720 (通り) となります。
> 問い２
> 2つの正の整数a、bに対して次の2条件をみたす2数の組をすべて求めよ。
> (ⅰ)a+b=165
> (ⅱ)aとbの最大公約数と最小公倍数の和は 2055 である。
a,bの最大公約数をＧ、最小公倍数をＬとするとき
ａ＝ｍＧ、ｂ＝nＧ(m,n:整数)、Ｌ＝ｍnＧ とおけます。
よって、ｍＧ＋nＧ＝(ｍ+n)Ｇ＝165＝3*5*11
Ｌ+Ｇ＝(ｍn＋1)Ｇ＝2055＝3*5*137
Ｇは両方の因数だから、1,3,5,15のいずれかです。
(1)Ｇ＝1 のとき、ｍn＝2054＝2*13*79 ,ｍ+ｎ＝165 なるｍ,ｎは存在しません。
(2)Ｇ＝3 のとき、ｍn＝685-1＝2^2*3^2*19 ,ｍ+ｎ＝55 なる(ｍ,ｎ)は(19,36),
(36,19)・・・・(ａ,ｂ)＝(57,108) ,(108,57)
(3)Ｇ＝5 のとき、ｍn＝411-1＝2*5*41 ,ｍ+ｎ＝33 なるｍ,ｎは存在しません。
(4)Ｇ＝15 のとき、ｍn＝137-1＝2^3*17 ,ｍ+ｎ＝11 なる ｍ,ｎは存在しません。
よって、(ａ,ｂ)＝(57,108) ,(108,57) が解となります。
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