数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: サイクロイド？ / Page: 0]

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■29776 / inTopicNo.1)

　サイクロイド？

□投稿者/ むき一般人(1回)-(2007/11/29(Thu) 22:55:22)

Oはxy平面の原点を中心とする半径3の円である。O`は円Oに内接する半径1の円であり、Pは円O`の周上の定点である。円O`を円Oに内接させながら転がすものとし、はじめPは点A(4,3)にある。
(1)∠AOO`=θとするとき、点Pの座標をθで表せ。
(2)円O`の接点が円Oの周上をひとまわりしてもとの位置に戻るまでに点Pが描く曲線の長さLを求めよ。
この問題教えていただけるとうれしいです。

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■29835 / inTopicNo.2)

　Re[1]: サイクロイド？

▲▼■

□投稿者/ nikumaru ＠一般人(7回)-(2007/12/02(Sun) 02:41:22)

内サイクロイドです！ちなみに点Aは(3,0)でしょう！？その前提で解法を！
円O'の接点をQとして，∠QO'P=αとすると，接しながら移動した弧の長さより $2$3 \theta = \alpha$ ．ここからちょっと難しいよ！大丈夫かな？
$2$\vec{O'P}$ の $2$x$ 軸方向とのなす角が $2$- (\alpha - \theta) = - 2 \theta$ なので， $2$\vec{O'P} = (\cos (- 2 \theta),\sin (- 2 \theta))$ ！
ゆえに， $2$\vec{OP} = \vec{OO'} + \vec{O'P} = (2 \cos \theta, 2 \sin \theta) + (\cos 2 \theta, - \sin 2 \theta) = (2 \cos \theta + \cos 2 \theta, 2 \sin \theta - \sin 2 \theta)$ ．これが点Pの座標です．
曲線の長さは $2$L = \displaystyle\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{(\frac{dx}{d \theta})^2 + (\frac{dy}{d \theta})^2} d \theta = \displaystyle\int_0 ^{2 \pi} \sqrt{(- 2 \sin \theta - 2 \sin 2 \theta)^2 + (2 \cos \theta - 2 \cos 2 \theta)^2}d \theta$
$2$ = \displaystyle\int_0 ^{2 \pi} \sqrt{4 + 4 + 8 (\sin \theta \sin 2 \theta - \cos \theta \cos 2 \theta)} d \theta = \displaystyle\int_0 ^{2 \pi} \sqrt{8 - 8 \cos 3 \theta} d \theta = \displaystyle\int_0 ^{2 \pi} 2 \sqrt{2} \sqrt{1- (1 - 2 \sin ^2 \frac{3}{2} \theta)} d \theta$
$2$ = \displaystyle\int_0 ^{2 \pi} 4 |\sin \frac{3}{2} \theta | d \theta = 3 \displaystyle\int_0 ^{\frac{2}{3} \pi} 4 \sin \frac{3}{2} \theta d \theta = 12 [- \frac{2}{3}\cos \frac{3}{2} \theta ]_0 ^{\frac{2}{3} \pi} = 12(\frac{2}{3} + \frac{2}{3}) = 16$ （答）ああ！Texは面倒だ！見苦しくてすいません．Tex慣れるのに勉強中！

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