 | 容器の底を点(0,1)と見て回答します。
(1)
y=e^(x^2)より
x^2=logy
∴
V=∫[1→h+1](πx^2)dy
=∫[1→h+1](πlogy)dy
=[πylogy][1→h+1]-π∫[1→h+1]dy
=π(h+1)log(h+1)-πh (A)
S=πx^2|[y=h+1]
=πlog(h+1) (B)
(2)
条件より
dV/dt=2
これに(A)を代入すると
(dh/dt)π{log(h+1)+1-1}=2
∴dh/dt=2/{πlog(h+1)} (D)
一方、(B)により
dS/dt=π/(h+1)(dh/dt)
(D)を代入して
dS/dt=2/{(h+1)log(h+1)} (E)
(D)(E)に
V=π (F)
となるときのhの値を代入します。
((F)に(A)を代入した式をhの方程式と見て解きます。)
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