数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 体積～円錐～ / Page: 0]

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■29732 / inTopicNo.1)

　体積～円錐～

□投稿者/ satsuma 一般人(1回)-(2007/11/27(Tue) 19:40:22)

中心Ｏ，半径aの円を底面とし、高さがaの直円錐がある。点Ｏを通り、底面と45°の角度で交わる平面をα（あるふぁ）とする。
（１）この円錐をα（あるふぁ）で切るとき、その切り口の面積を求めよ。
（２）α（あるふぁ）によってこの円錐が分けられる2つの部分のうち小さいほうの体積を求めよ。

という問題なのですが、画像のような方針で解こうとしました。
正射影を考えたのですが、体積を求めるところで $2$\sqrt{2}$ が出てきてしまいます。
本当の答えはもちろん
$2$\left(\frac{\pi}{6}-\frac{2}{9}\right)a^{3}$
です。
どこが間違っているのかわからず、今日朝から暇を見て取り組んでいましたが、
間違いを見つけることが出来ませんでした。
どこがおかしいでしょうか。

もちろん、こんな体積を求める積分をしなくても、
(1)で求めたところを底面とみて、錐体を考えればなんてことはないのですが、
後々のためにも正射影を用いて解いてみたいのです。
積分もいちいち置換しなくても計算できますが、
そのあたりは目をつぶってください。。

どなたか、よろしくお願い致します。

696×946 => 184×250

11-1.GIF/26KB

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■29735 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 体積～円錐～

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□投稿者/ らすかる付き人(70回)-(2007/11/27(Tue) 21:44:53)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

積分の方向が積分する面に垂直でないからです。
直方体の体積を(底面積)×(垂直から45°傾いた直線上で測った高さ)
で計算しているのと同じで、√2倍になります。

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■29736 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 体積～円錐～

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□投稿者/ satsuma 一般人(2回)-(2007/11/27(Tue) 22:01:06)

■No29735に返信(らすかるさんの記事)
> 積分の方向が積分する面に垂直でないからです。
> 直方体の体積を(底面積)×(垂直から45°傾いた直線上で測った高さ)
> で計算しているのと同じで、√2倍になります。
なるほど。確かにそうですね。たわけでした。どうもありがとうございます。
となると、私の面積のとり方でいくと、積分軸を
yz平面上の円錐の母線でとれば良いということですね？

ところで、正射影を用いて体積を求めることはできないでしょうか。
答えと照らし合わせてみると、Tをそのままtで積分すれば出てくることになるのですが、
なぜそれで答えがでてくるのか、或いはたまたま偶然なのかということも気にかかります。
斜めに図ってしまっているから、√2倍されているので√2で割ればよいというのも
後付のようで気分が晴れません。

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■29737 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 体積～円錐～

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□投稿者/ らすかる付き人(71回)-(2007/11/27(Tue) 22:32:00)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

＞円錐の母線でとれば良い
そうですね。

＞偶然なのか
45°という特別な角度からくる偶然ですね。
もし面の傾きがxy平面と60°だとするとS=2Tで、
このとき母線は0～aの√3/2倍なので
2倍して√3/2倍することになり、合いません。

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■29738 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 体積～円錐～

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□投稿者/ satsuma 一般人(3回)-(2007/11/27(Tue) 22:34:23)

やはり、Ｓを生かすなら、yz平面上の母線に積分軸をとって
αとその母線の交点を原点とし、そこから母線に沿って原点からの距離をuとして
uとtとの関係　t=√(2)u　としてSをuで積分するぐらいしかないのかなという気がしてきました。
どうもありがとうございました。

解決済み!

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■29739 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 体積～円錐～

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□投稿者/ satsuma 一般人(4回)-(2007/11/27(Tue) 22:38:41)

■No29737に返信(らすかるさんの記事)
> ＞円錐の母線でとれば良い
> そうですね。
>
> ＞偶然なのか
> 45°という特別な角度からくる偶然ですね。
> もし面の傾きがxy平面と60°だとするとS=2Tで、
> このとき母線は0～aの√3/2倍なので
> 2倍して√3/2倍することになり、合いません。
なるほど、45°のおかげだったのですね。。

結局私がミスをした最大の原因は積分軸に垂直な断面を考えるということだったわけですね。
一応理解していたつもりではありましたが、なんとなく「いけそう」とおもって、
いい加減なことをしていたと思います。
基本に忠実にやるよう肝に銘じておきます。
ありがとうございました。

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