数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 証明問題（訂正） / Page: 0]

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■29722 / inTopicNo.1)

　証明問題

□投稿者/ 考える人一般人(3回)-(2007/11/26(Mon) 23:55:43)

問題

（１） $2$x_1\leq x_2,y_1\leq y_2$ のとき、x_1y_1+x_2y_2とx_1y_2+x_2y_1の大小を比較せよ。
（２） $2$n$ は２以上の自然数とし、
　　　 $2$x_1\leq x_2\leq ……\leq x_n$
文字化けした文字があります。TEX形式数式の中は半角英数字のみでかいてください。および $2$y_1\leq y_2\leq ……\leq y_n$
文字化けした文字があります。TEX形式数式の中は半角英数字のみでかいてください。
を満たす数列 $2$x_1,x_2,……,x_n$
文字化けした文字があります。TEX形式数式の中は半角英数字のみでかいてください。および $2$y_1,y_2,……,y_n$
文字化けした文字があります。TEX形式数式の中は半角英数字のみでかいてください。
が与えられている。
　　 $2$y_1,y_2,……,y_n$
文字化けした文字があります。TEX形式数式の中は半角英数字のみでかいてください。を並びかえて得られるどのような数列 $2$z_1,z_2,……,z_n$
文字化けした文字があります。TEX形式数式の中は半角英数字のみでかいてください。
に対しても、
　　　　　 $2$\sum\limits_{i = 1}^n {x_i z_i}$ ≦ $2$\sum\limits_{i = 1}^n {x_i y_i}$
が成り立つことを示せ。

（１）は分かるのですが、（２）をまず、どのようにすれば示せるのかわかりません。
どなたか教えてください。お願いします。

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■29723 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 証明問題（訂正）

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□投稿者/ 考える人一般人(5回)-(2007/11/27(Tue) 00:02:53)

すみません。文字化けしたので訂正します。
問題

（１） $2$x_1$ ≦ $2$x_2$ , $2$y_1$ ≦ $2$y_2$ のとき、x_1y_1+x_2y_2とx_1y_2+x_2y_1の大小を比較せよ。
（２） $2$n$ は２以上の自然数とし、
　　　 $2$x_1\leq x_2\leq$ …… $2$\leq x_n$ および $2$y_1\leq y_2\leq ……\leq y_n$
文字化けした文字があります。TEX形式数式の中は半角英数字のみでかいてください。
を満たす数列 $2$x_1,x_2$ ,……, $2$x_n$ および $2$y_1,y_2$ ,……, $2$y_n$
が与えられている。
　　 $2$y_1,y_2$ ,……, $2$y_n$ を並びかえて得られるどのような数列 $2$z_1,z_2$ ,……, $2$z_n$
に対しても、
　　　　　 $2$\sum\limits_{i = 1}^n {x_i z_i}$ ≦ $2$\sum\limits_{i = 1}^n {x_i y_i}$
が成り立つことを示せ。

（１）は分かるのですが、（２）をまず、どのようにすれば示せるのかわかりません。

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■29724 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 証明問題（訂正）

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□投稿者/ 考える人一般人(6回)-(2007/11/27(Tue) 00:09:18)

■No29723に返信(考える人さんの記事)
本当に申し訳ありません。また文字化けしたので訂正します。（訂正箇所がｘ→xだと気づくのに時間がかかりすみませんでした。）
問題

（１） $2$x_1$ ≦ $2$x_2$ , $2$y_1$ ≦ $2$y_2$ のとき、x_1y_1+x_2y_2とx_1y_2+x_2y_1の大小を比較せよ。
（２） $2$n$ は２以上の自然数とし、
　　　 $2$x_1\leq x_2\leq$ …… $2$\leq x_n$ および $2$y_1\leq y_2\leq$ …… $2$\leq y_n$
を満たす数列 $2$x_1,x_2$ ,……, $2$x_n$ および $2$y_1,y_2$ ,……, $2$y_n$
が与えられている。
　　 $2$y_1,y_2$ ,……, $2$y_n$ を並びかえて得られるどのような数列 $2$z_1,z_2$ ,……, $2$z_n$
に対しても、
　　　　　 $2$\sum\limits_{i = 1}^n {x_i z_i}$ ≦ $2$\sum\limits_{i = 1}^n {x_i y_i}$
が成り立つことを示せ。

（１）は分かるのですが、（２）をまず、どのようにすれば示せるのかわかりません。

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■29734 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 証明問題（訂正）

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□投稿者/ miyup 付き人(95回)-(2007/11/27(Tue) 21:37:43)

2007/11/27(Tue) 21:39:30 編集(投稿者)

■No29724に返信(考える人さんの記事)
> （１） $2$x_1$ ≦ $2$x_2$ , $2$y_1$ ≦ $2$y_2$ のとき、x_1y_1+x_2y_2とx_1y_2+x_2y_1の大小を比較せよ。

x[1]≦x[2], y[1]≦y[2] のとき
x[1]y[2]+x[2]y[1]≦x[1]y[1]+x[2]y[2]　これを(2)で使う。

> （２） $2$n$ は２以上の自然数とし、
> 　　　 $2$x_1\leq x_2\leq$ …… $2$\leq x_n$ および $2$y_1\leq y_2\leq$ …… $2$\leq y_n$
> を満たす数列 $2$x_1,x_2$ ,……, $2$x_n$ および $2$y_1,y_2$ ,……, $2$y_n$
> が与えられている。
> 　　 $2$y_1,y_2$ ,……, $2$y_n$ を並びかえて得られるどのような数列 $2$z_1,z_2$ ,……, $2$z_n$
> に対しても、
> 　　　　　 $2$\sum\limits_{i = 1}^n {x_i z_i}$ ≦ $2$\sum\limits_{i = 1}^n {x_i y_i}$
> が成り立つことを示せ。

x[1]≦x[2]≦…≦x[n]である数列{x[n]}と、数列{z[n]}: z[1],z[2],…,z[n] について
x[1]z[1]+x[2]z[2]+…+x[n]z[n] を考える。
　z[1],…,z[n]のうち最小のz[k]と,z[1]を入れ替えると、(1)より
　x[1]z[1]+x[2]z[2]+…+x[k]z[k]+…+x[n]z[n]≦x[1]z[k]+x[2]z[2]+…+x[k]z[1]+…+x[n]z[n]
　となる。右辺について、z[k]=y[1] とおき、z[1]=z[k] と書き直す。
x[1]y[1]+x[2]z[2]+…+x[n]z[n] について
　z[2],…,z[n]のうち最小のz[k]と,z[2]を入れ替えると、(1)より
x[1]y[1]+x[2]z[2]+…+x[k]z[k]+…+x[n]z[n]≦x[1]y[1]+x[2]z[k]+…+x[k]z[2]+…+x[n]z[n]
　となる。右辺について、z[k]=y[2] とおき、z[2]=z[k] と書き直す。
同様に続けて
　x[1]z[1]+x[2]z[2]+…+x[n]z[n]≦x[1]y[1]+x[2]y[2]+…+x[n]y[n]
となり、y[1]≦y[2]≦…≦y[n] となる。

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■29781 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 証明問題（訂正）

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□投稿者/ 考える人一般人(7回)-(2007/11/30(Fri) 00:40:05)

miyupさんありがとうございます。

解決済み!

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