数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 合同式を用いた証明 / Page: 0]

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■2968 / inTopicNo.1)

　合同式を用いた証明

□投稿者/ がっつり一般人(1回)-(2005/08/18(Thu) 16:52:52)

次の問題を合同式を用いて示すことは可能でしょうか？
合同式を用いないでの証明はできたのですが、
解法を増やしたいので出来たらお願いします。

pは３以上の素数であり、x、yは０≦x≦ｐ　０≦y≦ｐを満たす整数であるとする。
このときx^2を2pで割ったときの余りと、y^2をpで割ったときの余りが等しければx=yであることを示せ。
（2003年　京都大学）

一応合同式の基本性質は理解してます。
よろしくお願いします。

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■2970 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 合同式を用いた証明

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□投稿者/ だるまにおん一般人(13回)-(2005/08/18(Thu) 17:18:04)

どうやら問題文が違うようですが・・・

以下mod2pとします。
x^2≡y^2
x^2-y^2≡0
(x-y)(x+y)≡0･･･
とやっていけばできますよ。

合同式で解いたほうが見た目がシンプルでかっこいいですね。

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■2971 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 合同式を用いた証明

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□投稿者/ がっつり一般人(2回)-(2005/08/18(Thu) 20:31:11)

あ、そこから先は、

(x+y)(x-y)≡0(mod 2p)
より、x+yまたはx-yが2pを約数にもつ。
１、x+yが2pの倍数のとき・・・
２、x-yが2pの倍数のとき・・・

ってやってくんですか？