数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 収束域を求める問題 / Page: 0]

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■29658 / inTopicNo.1)

　収束域を求める問題

□投稿者/ daigo 一般人(6回)-(2007/11/24(Sat) 01:30:24)

$2$\sum (-1)^n \frac{x^n}{\sqrt{n}}$
の収束域を求めたいのですが，答えは-1<x≦1で収束となっています．-1<x<1の場合分子が収束するので級数は収束すると思います．x=1のときも数列は単調減少で級数は交項級数となって収束すると思います．それ以外の場合に発散することはどうやって証明すればいいのでしょうか？

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■29661 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 収束域を求める問題

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□投稿者/ らすかる付き人(61回)-(2007/11/24(Sat) 03:49:04)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

x≦-1 のときは Σ(-1)^nx^n/√n = Σ|x|^n/√n ≧ Σ1/√n ＞ Σ1/n なので発散。
x＞1 のときは 1/(x^2-1) より大きい任意の整数Nに対して
{x^(N+1)/√(N+1)}/{x^N/√N} = x・√{1-1/(N+1)} ＞ x・√{1-1/((1/(x^2-1)+1)} = 1
となり隣項の絶対値の比が1より大きくなるので発散。

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■29679 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 収束域を求める問題

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□投稿者/ daigo 一般人(7回)-(2007/11/24(Sat) 23:14:12)

なるほど。ありがとうございます。

もう2つほどよろしいでしょうか？
(1)収束半径がたとえば1のときは、収束域は
-a<x<a, -a≦x<a, -a<x≦a, -a≦x≦a（aは正の定数）
のどれかになるのですか？
(2)(1)が正しいなら収束半径がたとえば1と分かると，x>1,x<-1での収束，発散については解答に含めなくてもいいということですか？

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■29680 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 収束域を求める問題

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□投稿者/ らすかる付き人(65回)-(2007/11/25(Sun) 00:15:06)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

(1) なると思いますが、常にa=1では？
(2) 収束半径が1というのは|x|＜1で収束し|x|＞1で収束しないということなので
「収束半径が1」と書いたら再度|x|＞1の場合について言及する必要はないと思います。

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■29696 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 収束域を求める問題

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□投稿者/ daigo 一般人(8回)-(2007/11/25(Sun) 17:11:36)