 | 2007/11/24(Sat) 09:31:26 編集(投稿者)
(logy)^2≦2-(logx)^2 (A)
とします。
u=log(xy^3) (B)
と置くとuが最大・最小のときxy^3はそれぞれ最大・最小であることが分かります。
ここで
u=logx+3logy
となりますので
logx=X
logy=Y
と置くと
u=X+3Y (B)'
又(A)は
Y^2≦2-X^2
つまり
X^2+Y^2≦2 (A)'
横軸にX,縦軸にYを取った平面上で考えると
(A)'は原点中心の半径√2の円の周及び内部
(B)は直線
を表しています。
よって(B)のX,Yが(A)'を満たすためには
直線(B)と原点との距離が上記の円の半径以下になればよいので
点と直線との間の距離の公式により
|u|/√(1^2+3^2)≦√2
∴|u|≦2√5
よってuの最大値は2√5、最小値は-2√5ですので(B)より
求める最大値は10^(2√5)、最小値は1/10^(2√5)です。
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