 | (1) ＢＰ＝ｙ、直線ＡＰと直線ＤＣの交点をＲとします。
すると、△ＡＢＰ∽△ＲＤＡ となります。
よって、ＤＲ＝ａ^2/ｙ、ＱＲ＝(ａ^2/ｙ)−ｘ ・・・・・(イ)
△ＡＤＱ≡△ＡＥＱ がいえ、ＥＱ＝ＤＱ＝ｘ,∠ＤＡＱ＝∠ＥＡＱ
ゆえに、△ＡＢＰ∽△ＲＥＱ より、ＥＲ＝ａｘ/ｙ
ＡＲ＝ａ＋(ａｘ/ｙ)・・・(ロ)
∠ＤＡＱ＝∠ＥＡＱ だから、(イ)(ロ)より {ａ＋(ａｘ/ｙ)}：ａ＝{(ａ^2/ｙ)−ｘ}：ｘ
これをｙについて解くと、ｙ＝(ａ^2−ｘ^2)/2x
よって、Ｓ＝ａ^2−□ＡＥＱＤ−△ＡＢＰ＝ａ^2−ａｘ−ａ(ａ^2−ｘ^2)/4x
＝ａ^2−(3/4)ａｘ−ａ^2/4x
(2) f(x)＝ａ^2−(3/4)ａｘ−ａ^2/4x とおいて、ｆ'(x)＝0をといて増減表を書くと
ｘ＝(1/√3)ａ のときに、Ｓ＝f(x)は最大値をとります。
このとき、∠ＤＡＱ＝∠ＥＡＱ＝30°となるから
∠ＰＡＢ＝30°のときに、この面積Ｓは最大となります。
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