 | 2007/11/23(Fri) 11:18:40 編集(投稿者)
見易くするため
BC=a,CA=b,AB=c,PD=x,PE=y,PF=z
と置きます。
つまり
BC/PD+CA/PE+AB/PF=a/x+b/y+c/z
今△ABCの面積をSとするとSは一定値であり、又、
S=(1/2)(ax+by+cz) (A)
一方、コーシ・シュワルツの不等式により
(ax+by+cz)(a/x+b/y+c/z)≧{√(ax)√(a/x)+√(by)√(b/y)+√(cz)√(c/z)}^2
(等号成立は√(ax)/√(a/x)=√(by)/√(b/y)=√(cz)/√(c/z)のとき)
整理して
(ax+by+cz)(a/x+b/y+c/z)≧(a+b+c)^2 (B)
(等号成立はx=y=zのとき)
(A)(B)より
2S(a/x+b/y+c/z)≧(a+b+c)^2
∴a/x+b/y+c/z≧{1/(2S)}(a+b+c)^2
(等号成立はx=y=zのとき)
よって問題の式は点Pが△ABCの内心のとき最小になります。
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