数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 証明問題ですが、教えてください / Page: 0]

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■29602 / inTopicNo.1)

　証明問題ですが、教えてください

□投稿者/ hitomi 一般人(1回)-(2007/11/21(Wed) 19:23:20)

n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AnB)-n(BnC)-n(CnA)+n(AnBnC)になることを
証明せよ。
＊n(AnB)...以下、カッコ内の”ｎ”は積集合の”and"です。

という問題なのですが・・・。
ヒントとして・・・
n(XUY)=n(X)+n(Y)-n(XnY)　が成り立つ。
n(AnBnC)のAUB=X, C=Yとみなして計算してもよい。

とあるのですが、よくわかりません。
よろしくお願いいたします。

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■29603 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 証明問題ですが、教えてください

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□投稿者/ Ｎ一般人(14回)-(2007/11/21(Wed) 19:52:14)

AUB=X、C=Yとおくと、
n(XUY)＝n(X)+n(Y)-n(XnY)＝n(AUB)+n(C)-n((AUB)nC)
と変化できるということを言いたかったのだと思います。
後は、今一度n(XUY)=n(X)+n(Y)-n(XnY)の公式を当てはめれば、証明できると思います。

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■29609 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 証明問題ですが、教えてください

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□投稿者/ hitomi 一般人(2回)-(2007/11/22(Thu) 08:40:11)

ありがとうございました。
かなり見えてきました。

AUB=X、C=Yに置きかえて、
n(XUY)＝n(X)+n(Y)-n(XnY)＝n(AUB)+n(C)-n((AUB)nC)
となることは理解できたのですが、

n(AUBUC)=.....+n(AnBnC)の「+n(AnBnC)」の部分がよく理解できません。
なぜ最後にn(AnBnC)を足すことになるんですか？

解説いただけたら幸いです。
よろしくお願いいたします。

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■29611 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 証明問題ですが、教えてください

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□投稿者/ Ｎ一般人(15回)-(2007/11/22(Thu) 09:18:13)

ここからは、ちょっと頭を使うところです。
n(AUB)+n(C)-n((AUB)nC)は今度はAUBという形があるので、もう一度n(XUY)=n(X)+n(Y)-n(XnY)の公式を使う必要がありそうです。
するとn(AUB)+n(C)-n((AUB)nC)＝n(A)+n(B)+n(C)-n(AnB)-{n(AnC)U(BnC)}
＝n(A)+n(B)+n(C)-n(AnB)-{n(AnC)+n(BnC)-n[(AnC)n(BnC)]
＝n(A)+n(B)+n(C)-n(AnB)-{n(AnC)+n(BnC)-n[(AnB)nC)]
＝n(A)n(A)+n(B)+n(C)-n(AnB)-n(AnC)-n(BnC)+n(AnBnC)
となりますね。

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■29727 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 証明問題ですが、教えてください

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□投稿者/ hitomi 一般人(3回)-(2007/11/27(Tue) 10:51:24)

ありがとうございました。
すごく助かりました。

解決済み!

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