 | やまともさん，こんばんわ。
> 連続関数f(x)に対して、F(x)=∫[0→x]sintf(x-t)dtとおく。
> (1)F(x),F``(x),f(x)の間に成り立つ関係式を求めよ。
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{x}%5csin%20%20%20t%20f(x-t)dt
)
において， と変数変換すると，
 ， のとき， であるから，
=%5cdisplaystyle%5cint_{x}^{0}%5csin%20%20(-u+x)f(u)du%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{x}%5csin%20%20(u-x)f(u)du%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{x}(%5csin%20%20%20u%5ccos%20%20%20x-%5ccos%20%20%20u%5csin%20%20%20x)f(u)du%20%5c%5c
=%5ccos%20%20%20x%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{x}%5csin%20%20%20uf(u)du-%5csin%20%20%20x%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{x}%5ccos%20%20%20uf(u)du%20%5c%5c
)
よって，
=-%5csin%20%20%20x%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{x}%5csin%20%20%20uf(u)du+%5ccos%20%20%20x%5csin%20%20%20xf(x)%20-%5ccos%20%20%20x%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{x}%5ccos%20%20%20uf(u)du-%5csin%20%20%20x%5ccos%20%20%20xf(x)%20%5c%5c
=-%5csin%20%20%20x%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{x}%5csin%20%20%20uf(u)du-%5ccos%20%20%20x%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{x}%5ccos%20%20%20uf(u)du%20%5c%5c
F''(x)=-%5ccos%20%20%20x%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{x}%5csin%20%20%20uf(u)du-%5csin%20%20%20x%5csin%20%20%20xf(x)+%5csin%20%20%20x%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{x}%5ccos%20%20%20uf(u)du%20-%5ccos%20%20x%5ccos%20%20%20xf(x)%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{x}(%5csin%20%20%20x%5ccos%20%20%20u-%5ccos%20%20%20x%5csin%20%20%20u)f(u)du-(%5csin%20%20^{2}x+%5ccos%20%20^{2}x)f(x)%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{x}%5csin%20%20(x-u)du-f(x)%20%5c%5c
)
さらに， とおくと，  のとき， だから，
=%5cdisplaystyle%5cint_{x}^{0}%5csin%20%20%20v(-1)dv-f(x)%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{x}%5csin%20%20%20vdv-f(x)%20%5c%5c
=0
)
> (2)全ての実数xに対して、∫[0→x](sint)f(x-t)dt=f(x)-sinxが成り立つように
> f(x)を定めよ。
>
=f(x)-%5csin%20%20%20x) …①
①で として，
=0) ……②
①の両辺を で微分すると，(1)の結果より，
du-%5ccos%20%20%20x%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{x}%5ccos%20%20%20uf(u)du%20=%20f'(x)-%5ccos%20%20%20x
)
この式で，として，
=1) …③
さらに，で微分すると，(1)の結果より
+%5csin%20%20%20x%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20f''(x)=-%5csin%20%20%20x%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20f'(x)=%5ccos%20%20%20x+C%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20f(x)=%5csin%20%20%20x%20+%20Cx%20+%20D
)
だから，②③を用いて積分定数 を求めると，
よって，
=%5csin%20%20%20x
)
となります。
|