 | f_n(x)=x^n (０≦ｘ≦１)とする。次を示せ。
(1) {f_n(x)}は[0,1]で各点収束する。
(2) {f_n(x)}は[0,1]で一様収束しない。
(3) {f_n(x)}は[0,a] (0<a<1)で一様収束する。
(1)
f(x)=lim[n→∞]f_n(x)とおくと、
f(x)=０ (0≦x＜1)，１ (x=1)
であるから、{f[n](x)}は[0,1]で各点収束する。
(2)
f_n(x)が[0,1]で一様収束すると仮定すると、
∀ε＞０，∃n_0∈Ｎ，s.t. ｎ≧n0 ⇒|x^n−f(x)|＜ε，∀x∈[0,1]
が成り立つのですが、
f(x)が０，１であるから、どうすればいいのでしょうか？
x=1のときは、f_n(x)=1、f(x)＝1であるので、考えなくてもいいのでしょうか？
(1)は、これであってますか？何か不足部分があれば、ご指摘お願いします。
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