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■2939 / inTopicNo.1)

　２次関数

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□投稿者/ 武一般人(8回)-(2005/08/18(Thu) 00:54:27)

たびたびすいません。x^2+ax+a-8>0―①、x^2-2x-8>0―②に対し命題「①を満たすすべてのｘに対して②が成り立つ」ような定数aの範囲を求めよ。という問題がわからないのですがどなたか教えてくださいませんか。お願いします。

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■2941 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ２次関数

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□投稿者/ moomin 一般人(36回)-(2005/08/18(Thu) 07:00:42)
http://user.ecc.u-tokyo.ac.jp/~g441069/HP/

■No2939に返信(武さんの記事)

次のようにして解きます。

まず②の成り立つようなxの範囲は
x>4 or x<-2 ・・②’です。

次に①を次のように変形します。(②と比べるためにxについてまとめる)

①⇔(x+a/2)^2＞1/4(a+4)(a-8)

ここでaが求めるべき範囲に入っているとすると
-4≦a≦8のときは全てのｘについて
②’が成り立ってしまうので矛盾。
ですから、はじめから(a+4)(a-8)＞０・・★として考えてよく、

よって★の条件下でさらに変形して
①⇔(x+a/2)＜-1/2√(a+4)(a-8) or (x+a/2)＞1/2√(a+4)(a-8)・・①’

です。すなわち、
「(a+4)(a-8)＞０」かつ
「①’の範囲が②’の範囲に含まれていなければならない」
ということがaの満たすべき条件です。

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■2942 / inTopicNo.3)

　Re[2]: ２次関数

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□投稿者/ 豆大御所(250回)-(2005/08/18(Thu) 09:28:01)

moominさんのレスはよく理解してください。
同じことなのですが、次のように放物線のグラフで考えても良いかも知れません。
(1)の不等式に関して、y=f(x)= x^2+ax+a-8　とおいたとき、
まず、x軸と2点で交わる必要からf(x)=0に関してのD＞0
f(x)=(x-α)(x-β)　(α＜β)と考えたとき、
α≦-2、4≦βであるために
f(-2)≦0、f(4)≦0
この3つの条件からaの範囲を定める。

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