数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 部分群の位数 / Page: 0]

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■29382 / inTopicNo.1)

　部分群の位数

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□投稿者/ Sweet 一般人(3回)-(2007/11/14(Wed) 15:02:32)

群Ｇの部分群Ｈ，Ｋがともに有限群で、その位数に共通の約数がなければ、Ｈ∩Ｋは単位群であることを示せ。

教えてください；お願いします。

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■29384 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 部分群の位数

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□投稿者/ サボテン一般人(31回)-(2007/11/14(Wed) 16:16:05)

H∩Kが群になることは良いでしょうか?

Lagrangeの定理より、||を位数を表すとすると、
|H|/|H∩K|∈Z,|K|/|H∩K|∈Z
つまり、|H∩K|は|H|,|K|の公約数になります。

ここで、仮定より(|H|,|K|)=1なので、|H∩K|=1
よって、H∩Kは単位群になります。

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■29387 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 部分群の位数

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□投稿者/ Sweet 一般人(5回)-(2007/11/14(Wed) 16:29:58)

Ｈ∩Ｋが群になることはわかります。

Lagrangeの定理は
「Ｇを有限群とし、ＨをＧの部分群とするとき、|Ｇ|＝|Ｇ：Ｈ|･|Ｈ|」
が成り立つというものですが、

|H|/|H∩K|∈Z,|K|/|H∩K|∈Z
ということは、
Ｈ∩Ｋは、Ｈ,Ｋの部分群なのでしょうか？

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■29388 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 部分群の位数

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□投稿者/ サボテン一般人(35回)-(2007/11/14(Wed) 16:33:54)

H∩KはH,Kの演算に関して閉じており、H,Kのどちらにも含まれるので、
部分群です。