数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 極限値 / Page: 0]

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■29377 / inTopicNo.1)

　極限値

□投稿者/ 魂一般人(1回)-(2007/11/14(Wed) 08:05:14)

lim[x→-∞] (x^2+3)/(5x^3+1)

lim[x→2] (x)/(x-2)^2

lim[x→∞] √(x+1)-√x

lim[x→∞] (x)/(√(x^2+4)-2)

以上の問題を詳しく解説して教えてください。
答えはわかるのですが解き方がわからないんです。
ちなみに答えは上から0,∞,0,1となっています。

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■29378 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極限値

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□投稿者/ 疲労一般人(6回)-(2007/11/14(Wed) 08:56:51)

lim[x→∞] 1/x =　0

lim[x→+0] 1/x = ∞

はわかりますか？

分子分母をxの最高次で割れば上の形にもっていけます。
3つめは

√(x+1)-√x = 1/(√(x+1)+√x)

としてやればわかるはず。

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■29402 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 極限値

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□投稿者/ 魂一般人(2回)-(2007/11/14(Wed) 19:12:49)

すいませんがそれはわからないです。
もう少し解説していただけないでしょうか？

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■29403 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 極限値

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□投稿者/ 疲労一般人(7回)-(2007/11/14(Wed) 19:27:03)

あなたは学校もしくは独学で何を学んだわけ？

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■29411 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 極限値

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□投稿者/ 魂一般人(3回)-(2007/11/14(Wed) 23:39:49)

そこまで言われても仕方が無いほどに勉強をやってないです。
だからこそわからないのです。
どうぞよろしくお願いします。

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■29414 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 極限値

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□投稿者/ ＤＡＮＤＹ　Ｕ一般人(14回)-(2007/11/15(Thu) 02:04:01)

> lim[x→-∞](x^2+3)/(5x^3+1)

lim[x→-∞](x^2+3)/(5x^3+1) ＝lim[x→-∞](1＋3/x^2)/(5x＋1/x^2)　となり
　x→-∞ のとき、(分子)→1 　(分母)→-∞　ですね
よって、lim[x→-∞](x^2+3)/(5x^3+1)＝０

疲労さんが書かれておられるのは、こういうことです。
他のも、同様にもう一度挑戦してみてください。
それでも分からなければ、またどうぞ。

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■29418 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 極限値

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□投稿者/ 疲労一般人(8回)-(2007/11/15(Thu) 09:09:37)

2007/11/15(Thu) 09:12:38 編集(投稿者)

$2$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0$
$2$ \lim_{x \to +0} \frac{1}{x}=\infty$
は前提として知っておいてほしいです。
この証明はグーグル先生にでも聞いてみてください。
まあ多分直感的に、（∞分の定数）なら0に収束、（0分の定数）なら無限大に発散すると覚えておけば大丈夫です。
さて、各問題に対する方法ですが、極限を調べるために、cを任意の定数として各分数を
$2$ \frac{c}{\infty} , \frac{c}{0}, \frac{\infty}{0},\frac{0}{c},\frac{\infty}{c}$
という形に持っていきたいです。次のような形
$2$ \frac{\infty}{\infty},\frac{0}{0}$
は不定型とよばれ、簡単には極限を求めることができません。

一番上の問題を解きます。
$2$ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+3}{5x^3+1}$

まず、分子分母の $2$x$ の最高次数は3です。これで分子分母を割ります。
$2$ \frac{x^2+3}{5x^3+1} = \frac{(x^2+3)/x^3}{(5x^3+1)/x^3}= \frac{\frac{1}{x}+\frac{3}{x^3}}{5+\frac{1}{x^3}}$
ここで $2$x \to \infty$ の極限をとると、分数中で
$2$ \frac{1}{x}\to 0 ,\frac{3}{x^3}\to 0,\frac{1}{x^3}\to 0$
となることはわかりますね。したがって
$2$ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+3}{5x^3+1}\to \frac{0+0}{5+0} =\frac{0}{5}=0$
となるわけです。
以下同様にしていちばん大きな次数の $2$x$ で分子分母を割ると0に収束する項がでてきてうれしいことがおこりますw
がんばって！

ちなみに29403は僕じゃありません。

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