数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[10]: 関数列と一様収束 / Page: 0]

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■29368 / inTopicNo.1)

　関数列と一様収束

□投稿者/ Sweet 一般人(1回)-(2007/11/13(Tue) 21:44:39)


とする。次を示せ。
(1)はで各点収束する。
(2)はで一様収束しない。

よろしくお願いします☆

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■29379 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 関数列と一様収束

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□投稿者/ サボテン一般人(28回)-(2007/11/14(Wed) 14:05:49)

ヒントです。
f_n(x)はx∈[0,1]でf(x)=0に各点収束しますが、一様収束はしないことを
定義に沿って示します。

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■29381 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 関数列と一様収束

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□投稿者/ Sweet 一般人(2回)-(2007/11/14(Wed) 14:55:43)

なぜf_n(x)がx∈[0,1]でf(x)=0に各点収束するといえるのでしょうか？
教えてください；

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■29383 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 関数列と一様収束

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□投稿者/ サボテン一般人(30回)-(2007/11/14(Wed) 16:10:33)

x=0の時、f_n(0)=0なので、0に収束します。
x=a≠0の時、2/N<aなるNに対し、n>Nならば、f_n(a)=0です。
よってf(x)=0に各点収束します。

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■29385 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 関数列と一様収束

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□投稿者/ Sweet 一般人(4回)-(2007/11/14(Wed) 16:21:05)

わかりました☆ありがとうございます。

(2)は一様収束すると仮定して、矛盾を導けばいいのでしょうか？

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■29386 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 関数列と一様収束

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□投稿者/ サボテン一般人(33回)-(2007/11/14(Wed) 16:29:39)

それで問題ないと思います^^

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■29389 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 関数列と一様収束

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□投稿者/ Sweet 一般人(6回)-(2007/11/14(Wed) 16:34:58)

2007/11/14(Wed) 16:43:38 編集(投稿者)
2007/11/14(Wed) 16:43:32 編集(投稿者)

ですが、どうやって矛盾を導いていけばいいのかがわかりません；；

f_n(x)が[0,1]で一様収束すると仮定すると、
∀ε＞０，∃n_0∈Ｎ，s.t. ｎ≧n0 ⇒|f_n(x)－０|＜ε，∀x∈[0,1]
が成り立つ。

f_n(x)は範囲によって、形が変わるので、どうすればよいのでしょうか？

よろしくお願いします☆

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■29392 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 関数列と一様収束

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□投稿者/ サボテン一般人(37回)-(2007/11/14(Wed) 16:43:10)

f_n(x)が[0,1]で一様収束すると仮定すると、
∀ε＞０，∃n_0∈Ｎ，s.t. ｎ≧n0 ⇒|f_n(x)－０|＜ε，∀x∈[0,1]
が成り立つ。

ですね。

しかし、n≧n0に対し、x=1/n∈[0,1]を取ると、
f_n(1/n)=1より、|f_n(x)－０|=1>ε となる点が存在し、矛盾。
よって一様収束しません。

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■29393 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 関数列と一様収束

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□投稿者/ Sweet 一般人(8回)-(2007/11/14(Wed) 16:55:57)

f_n(1/n)=1より、|f_n(x)－０|=1>ε となる点が存在し、矛盾。

というのは、εは任意であるが、ε＜１のときは成り立たなくなるから
矛盾ということですか？

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■29394 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 関数列と一様収束

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□投稿者/ サボテン一般人(39回)-(2007/11/14(Wed) 16:58:13)

書き方が足りなかったですね。仰る通りです。εは任意ですが、
1より小さくすると、矛盾が生じるからです。

直感的には一様収束は、どの点も同じくらいのスピードで収束すると言う
ことです。しかし、この関数の場合はx=0に近い点ほど収束がどんどん
遅くなってしまいます。よって一様収束しないのです。