 | 2007/11/13(Tue) 15:00:51 編集(投稿者)
>>ﾀﾝｸの体積は、約2.35tに〜
とありますが、体積「の重量換算値」と解釈して解きます。
尚、空タンクの重さは0であるとして計算しておきます。
液面レベルがh[cm]のときの
液面で覆われた側面(円が欠けたような図形です)の面積をS[cm^2]
タンクの高さをH[cm]
タンクの底面の円の半径をr[cm]
求める体積の重量換算値をv[t]
満タンのときの体積の重量換算値をV[t]
タンク内の液体の密度をρ[t/cm^3]
とします。
すると
v=ρSH (A)
ρ=V/{(πr^2)H} (B)
S=2∫[-r→h-r]√(r^2-x^2)dx (C)
(C)より
S=2[x√(r^2-x^2)][-r→h-r]+2∫[-r→h-r]{(x^2)/√(r^2-x^2)}dx
=2(h-r)√{r^2-(h-r)^2}+2∫[-r→h-r]{-√(r^2-x^2)+(r^2)/√(r^2-x^2)}dx
=2(h-r)√(2hr-h^2)-S+2[(r^2)arcsin(x/r)][-r→h-r]
=2(h-r)√(2hr-h^2)-S+{2arcsin(h/r-1)+π}r^2
∴S=(h-r)√(2hr-h^2)+{arcsin(h/r-1)+π/2}r^2 (C)'
(B)(C)'を(A)に代入して
v={V/(πr^2)}[(h-r)√(2hr-h^2)+{arcsin(h/r-1)+π/2}r^2]
これに
V=2.35[t]
r=50[cm]
を代入すると求めるhの式になります。
注)
arcsin(x)は逆三角関数の1つです。
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