 | ＞ Titl.eは質問の内容がわかりやすいように書いてください。
だそうですので、よろしくお願いします。
n次の多項式をf[n](x)と書くことにします。
nに関する数学的帰納法で題意を示します。
●n=1のとき
f[1](x)=ax+bとおけて
f[1](0)=b
f[1](1)=a+b
が整数よりa,bが整数なので
全ての整数kに対してf[1](x)は整数。
●n=Nのとき題意が成立すると仮定すると…
f[N+1](x+1)-f[N+1](x)=F(x) (♪) とおくとF(x)はN次の多項式であり、
f[N+1](0),…,f[N+1](N+1)は整数なのでF(0),…,F(N)は整数となるから
全ての整数kに対してF(k)は整数となる。
そこで、(♪)の式でx=0,1,…,k-1としたものを辺々加えると
f[N+1](k)=f[N+1](0)+F(0)+…+F(k-1)=整数
(♪)の式でx=-1,-2,…,kとしたものを辺々加えると
f[N+1](k)=f[N+1](0)-{F(-1)+…+F(k)}=整数
となり、n=N+1のときも題意は成立する。
以上から、数学的帰納法により全ての自然数nに対して題意は成立する。
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