 | 2007/11/11(Sun) 20:38:05 編集(投稿者)
■No29277に返信(蓮さんの記事)
> a,b,cを実数とする。y=x^3+3ax^2+3bxとy=cのグラフが相異なる３つの交点を持つという。
> このとき、a^2>bが成立することを示し、
> さらにこれらの交点のx座標のすべては区間-a-2√(a^2-b)<x<-a+2√(a^2-b)に含まれていることを示せ。
>
> 前半のa^2>bはf(x)=x^3+3ax^2+3bx-cの導関数f'(x)=3x^2-6ax+3b=0の判別式をＤとしてＤ>0で示せたのですが、後半の証明ができません。
f'(x)＝0の解をx＝α,β(α<β)とおくと
３次関数y=f(x)は、グラフ上のx＝(α+β)/2である点に関して対称である。
ここで、f(α)=f(q)となる点(q,f(q))、およびf(β)=f(p)となる点(p,f(p))について
p=(α+β)/2-(β-α)、q=(α+β)/2+(β-α) であるから
解と係数の関係 α+β=-2a, αβ=b より
(α+β)/2=-a, β-α=√{(α+β)^2-4αβ}=2√(a^2-b)
y=x^3+3ax^2+3bx と y=c の３解は p<x<q の範囲にあるので、題意は示された。
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