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■29272 / inTopicNo.1)

　三角関数？？

□投稿者/ 時計台一般人(4回)-(2007/11/10(Sat) 22:25:00)

たぶん三角関数の問題なのですが・・・
OPとaとbを使ってtanの式は一本つくったのですが方向性はこれでよいのか・・
悪循環にはまってます。たすけてください・・
なんとなく答えは45°な気がするのですが・・
教えてください。おねがいします。

〔問題〕
地面上の点Ｏの真上に棒ABが地面に垂直になるようにつるしてある。
その棒の上端をB,下端をAとし,BA間の距離はbとする。
また,棒の下端Aは地面から高さaのところにある。
(ＯA間の距離がa)ただし、a>0とする。この棒を地面上を動く点Pから観測する。
このとき∠BPAが最大になる点Pに対しOPの長さを求めよ。
なお、地面は水平線とみなす。

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■29273 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三角関数？？

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□投稿者/ miyup 付き人(61回)-(2007/11/10(Sat) 22:52:48)

2007/11/10(Sat) 22:53:38 編集(投稿者)

■No29272に返信(時計台さんの記事)
> 〔問題〕
> 地面上の点Ｏの真上に棒ABが地面に垂直になるようにつるしてある。
> その棒の上端をB,下端をAとし,BA間の距離はbとする。
> また,棒の下端Aは地面から高さaのところにある。
> (ＯA間の距離がa)ただし、a>0とする。この棒を地面上を動く点Pから観測する。
> このとき∠BPAが最大になる点Pに対しOPの長さを求めよ。
> なお、地面は水平線とみなす。

∠APO=α、∠BPA=θ(0°<θ<90°)、OP=p とおくと
　tanα=a/p、tan(α+θ)=(a+b)/p で
　tan(α+θ)=(tanα+tanθ)/(1-tanαtanθ) に代入して
　tanθ=bp/{p^2+a(a+b)}=b/{p+a(a+b)/p}
ここで、θ最大⇔tanθ最大⇔分母最小より
　分母について相加・相乗平均の関係から
　p+a(a+b)/p≧2√{p・a(a+b)/p}=2√{a(a+b)}　←最小値
　　等号成立は p=a(a+b)/p すなわち p=√{a(a+b)} のとき
以上より
∠BPA最大の時、p=√{a(a+b)}

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■29274 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 三角関数？？

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□投稿者/ 時計台一般人(5回)-(2007/11/10(Sat) 23:46:37)

> ∠APO=α、∠BPA=θ(0°<θ<90°)、OP=p とおくと
> 　tanα=a/p、tan(α+θ)=(a+b)/p で
> 　tan(α+θ)=(tanα+tanθ)/(1-tanαtanθ) に代入して
> 　tanθ=bp/{p^2+a(a+b)}

↑ここまではできてたのですが、なるほど～。
　ｐで割るんですね・・それで相加相乗平均にするんだ～。

> =b/{p+a(a+b)/p}
> ここで、θ最大⇔tanθ最大⇔分母最小より
> 　分母について相加・相乗平均の関係から
> 　p+a(a+b)/p≧2√{p・a(a+b)/p}=2√{a(a+b)}　←最小値
> 　　等号成立は p=a(a+b)/p すなわち p=√{a(a+b)} のとき
> 以上より
> ∠BPA最大の時、p=√{a(a+b)}

　あざやかな解法ありがとうございます☆
　これですっきり眠れそうですm(_ _)m

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