数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 微分の応用 / Page: 0]

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■29237 / inTopicNo.1)

　微分の応用

□投稿者/ nitro 一般人(10回)-(2007/11/09(Fri) 13:48:58)

$2$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ において、 $2$f'(x)=0$ とする $2$x$ を $2$\alpha , \beta (\alpha < \beta)$ とする。

(1) $2$\alpha + \beta$ を求めよ。
微分して、解と係数の関係より、 $2$x=-\frac{2b}{3a}$

(2) $2$f''(x)=0$ を解け。
さらに微分して、 $2$x$ について解き、 $2$x=-\frac{b}{3a}$

以上は解けました。

(3) $2$f(x)=f(\alpha)$ となる、 $2$\alpha$ とは異なる $2$x$ を求めよ。

(3)をお願いします。

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■29238 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分の応用

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□投稿者/ X 一般人(12回)-(2007/11/09(Fri) 13:59:49)

f(x)=f(α)
より
a(x^3-α^3)+b(x^2-α^2)+c(x-α)=0
これより
(x-α){a(x^2+αx+α^2)+b(x+α)+c}=0
(x-α){ax^2+(aα+b)x+aα^2+bα+c}=0 (A)
ここでf'(α)=0ですので
3aα^2+2bα+c=0
∴aα^2+bα+c=-2aα^2-bα
これを(A)に代入すると
(x-α){ax^2+(aα+b)x-α(2aα+b)}=0
{ax+(2aα+b)}(x-α)^2=0
∴求める解は
x=-2α-b/a
となります。

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■29239 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 微分の応用

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□投稿者/ サボテン一般人(24回)-(2007/11/09(Fri) 14:04:12)

αとは3次関数の極値なので、f(x)=f(α)という方程式の重解になります。
よって
f(x)-f(α)=(x-α)^2(x-γ)
と因数分解できます。

f(x)-f(α)の定数項は-aα^3-bα^2-cαなので、
α^2γ=aα^3+bα^2+cα
よってγ=aα+b+c/α

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■29240 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 微分の応用

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□投稿者/ サボテン一般人(26回)-(2007/11/09(Fri) 14:11:39)

Xさんとの回答の形式をあわせるなら、3aα^2+2bα+c=0を用いれば可能です。