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■29152 / inTopicNo.1)

　わかりません

□投稿者/ みやび一般人(1回)-(2007/11/05(Mon) 21:38:26)

半径１の円に内接する二等辺三角形ABCにおいて、AB=AC、∠BAC=θとする。
（１）ABおよびBCの長さをθで表せ。
（２）cosθ=tとおき、△ABCの面積Sをtで表せ。
（３）Sを最大にするθの大きさとその最大値を求めよ。
わかりません。教えてください。

(携帯)

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■29155 / inTopicNo.2)

　Re[1]: わかりません

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□投稿者/ 疲労一般人(2回)-(2007/11/06(Tue) 08:17:10)

(1)
まず円の中心Oを考えると、
OA=OB=1、∠OAB=θ/2
であるから
∠AOB=180°-θ
したがって
AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2OA・OBcos(180°-θ)
= 2 + 2cosθ
AB = sqrt(2 + 2cosθ)
また、BCについても計算すれば
BC = 2 sqrt(1+cos^2(2-cosθ))

(2)
S = AB・ACsinθ
　= 2(1+t)sqrt(1- t)

(3)
-1<t<1
dS/dt=2(1-t-2t^2)/{sqrt(1-t^2)}
で、dS/dt=0の時 t=1/2
増減表書けばわかるけどこのときS最大。
すなわちSはθ=60°の時最大値3/(sqrt(2))をとる。
正三角形です。

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■29156 / inTopicNo.3)

　Re[2]: わかりません

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□投稿者/ 疲労一般人(3回)-(2007/11/06(Tue) 08:18:47)

すいません訂正です。
(2)のルートの中は1-t^2です。

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■29157 / inTopicNo.4)

　Re[1]: わかりません

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□投稿者/ miyup 一般人(42回)-(2007/11/06(Tue) 08:20:45)

■No29152に返信(みやびさんの記事)
> 半径１の円に内接する二等辺三角形ABCにおいて、AB=AC、∠BAC=θとする。
> （１）ABおよびBCの長さをθで表せ。
正弦定理より、BC=2sinθ
AB=AC=x とおいて余弦定理より、AB=AC=√{2(1+cosθ)}
> （２）cosθ=tとおき、△ABCの面積Sをtで表せ。
S=1/2・x^2・sinθ=(1+cosθ)sinθ　←sinθ=√(1-cos^2θ)
> （３）Sを最大にするθの大きさとその最大値を求めよ。
0<θ<π から -1<t<1 の範囲で微分して増減表をかく

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■29175 / inTopicNo.5)

　Re[1]: わかりません

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□投稿者/ ＤＡＮＤＹ　Ｕ一般人(9回)-(2007/11/06(Tue) 21:38:55)

(1) ＯからＡＢに垂線ＯＨをおろすと、ＡＯ＝cos(θ/2)
よって、ＡＢ＝２cos(θ/2)　これで答えとしてもよいと思いますが念のため変形すると、cos(θ/2)＝√{(cosθ+1)/2}
∴ＡＢ＝√{2(cosθ+1)}
ＢＣとＡＯの交点をＤとして、ＢＣ＝２ＢＤ＝２ＡＢ*sin(θ/2)＝４cos(θ/2)*sin(θ/2)＝２sinθ　　

と、もっていってもできますね。（疲労さん、miyupさんと違う方法です）

(2) については、お二人の答えが違いますが、
S＝(1+cosθ)sinθ＝(ｔ＋1)√(1－ｔ^2) 　のほうが正しいと思います。

したがって、(3)はｔ＝1/2 のとき,Ｓ＝3√3／4　となると思いますが。　

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