数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 広義積分 / Page: 0]

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■29134 / inTopicNo.1)

　広義積分

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□投稿者/ AI 一般人(1回)-(2007/11/03(Sat) 20:45:16)

∫[0→π](sinx/x√x)dx

この広義積分の収束、発散を調べよ。
という問題です。

詳しい解説をお願いします。

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■29138 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 広義積分

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□投稿者/ W 一般人(1回)-(2007/11/03(Sat) 23:51:40)

■No29134に返信(AIさんの記事)
> ∫[0→π](sinx/x√x)dx

参考まで；

In[1286]:=
Integrate[Sin[x]/(x*Sqrt[x]), {x, 0, Pi}]
N[%]

Out[1286]=
2*Sqrt[Pi]*HypergeometricPFQ[{1/4},
{5/4, 3/2}, -(Pi^2/4)]

Out[1287]=
2.6514692530410833

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■29150 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 広義積分

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□投稿者/ X 一般人(9回)-(2007/11/05(Mon) 18:30:35)

0<a≦πなるaに対し
I=∫[0→a](sinx)/xdx
が収束する
ということ(命題Pとします)が使えるのなら、以下の回答が考えられます。
(但し、収束することが分かるだけで、値は分かりませんが)

0≦x≦πに対し
x≦x^(3/2)
∴0≦(sinx)/x^(3/2)≦[sin{x^(3/2)}]/x
∴ε>0に対し
0<∫[ε→π](sinx)/x^(3/2)dx<∫[ε→π]{[sin{x^(3/2)}]/x}dx (A)
ここで
I[ε]=∫[ε→π](sinx)/x^(3/2)dx (B)
J[ε]=∫[ε→π]{[sin{x^(3/2)}]/x}dx (C)
とすると(A)より
0<I[ε]<J[ε] (A)'
又,(C)においてx^(3/2)=tと置くことにより
J[ε]=(2/3)∫[ε→π^(2/3)]{(sint)/t}dt
ですので、命題Pにより
lim[ε→+0]J[ε]
は収束します。これをKとすると
J[ε]<K
です(証明は省略します)ので(A)'から
0<I[ε]<K
つまりI[ε]は上に有界であることが分かります。
更にJ[ε]はεの減少に関して単調に増加しますので
lim[ε→+0]I[ε]=∫[0→π](sinx)/x^(3/2)dx
は収束します。

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■29171 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 広義積分

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□投稿者/ AI 一般人(2回)-(2007/11/06(Tue) 19:32:36)

Ｗさん、Ｘさん、ありがとうございます。
助かりました。

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