数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 正方形に内接する円と四分円の共通部分の面積 / Page: 0]

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■29103 / inTopicNo.1)

　正方形に内接する円と四分円の共通部分の面積

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□投稿者/ nitro 一般人(3回)-(2007/11/02(Fri) 11:29:40)

図の点ＥＦＪＩに囲まれた曲線部分の面積を求める方法を考えてください。
図の補足をしますと、正方形に内接する円と四分円の共通部分の面積です。
個人的には解決しているのですが、他の方の考え方も見てみたいので、よろしくお願いいたします。

271×270 => 250×249

fig.gif/1KB

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■29109 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 正方形に内接する円と四分円の共通部分の面積

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□投稿者/ らすかる一般人(9回)-(2007/11/02(Fri) 13:24:47)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

私も昔求めましたが、普通に小円の中心からI,Jに線を引いて
分割して求めたと思います。
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/mens3.htm
↑こちらの問題はIJGHを求めるものですが、
【寄せられた解答】に2つの解法が書かれています。

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■29116 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 正方形に内接する円と四分円の共通部分の面積

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□投稿者/ nitro 一般人(4回)-(2007/11/02(Fri) 20:39:02)

自分が以前求めた時は、図を４５°回転させて、点Ｂを原点、ＢＤを通る直線をｘ軸上に置いて、積分をして求めました。無理数ですが、実際に値を出すためには、その方が良い気がするのですが、いかがでしょう。

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■29117 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 正方形に内接する円と四分円の共通部分の面積

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□投稿者/ らすかる一般人(12回)-(2007/11/02(Fri) 20:45:06)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

(AE)^2(5π-√7-11arccos(3/4))/2 のような答がでれば
実際の値も電卓で求まりますので、どう求めても変わらない気がしますが。
どっちみち逆三角関数は出てきますよね。

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■29118 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 正方形に内接する円と四分円の共通部分の面積

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□投稿者/ nitro 一般人(5回)-(2007/11/02(Fri) 20:50:11)

積分でやったときは逆三角関数は出てこなかったんですよ。

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■29119 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 正方形に内接する円と四分円の共通部分の面積

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□投稿者/ らすかる一般人(13回)-(2007/11/02(Fri) 21:00:00)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

逆三角関数を使わないでどうやって √(r^2-x^2) を積分するのですか？
それとも被積分関数が違うのでしょうか？
結果がどうなったのか知りたいです。

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■29120 / inTopicNo.7)

　（削除）

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□投稿者/ -(2007/11/02(Fri) 22:37:23)

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■29121 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 正方形に内接する円と四分円の共通部分の面積

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□投稿者/ nitro 一般人(8回)-(2007/11/02(Fri) 22:45:05)

簡便化のために、１辺の長さが２の正方形に内接する円で考えます。
図のように、４５°回転させて座標をとると、

大円（四分円）： $2$x^2+y^2=4$
小円： $2$(x-\sqrt{2})^2+y^2=1$

となり、交点のｘ座標は $2$\frac{\sqrt{2}}{4}$ となります。

また、各々の円の上部分を陽関数表示すると

大円（四分円）： $2$y=\sqrt{4-x^2}$
小円： $2$y=\sqrt{1-(x-\sqrt{2})^2}$

となるので、求めるべき面積は

$2$2\{\displaystyle\int _{\sqrt{2}-1} ^{\frac{\sqrt{2}}{4}} \sqrt{1-(x-\sqrt{2})^2} dx + \displaystyle\int _{\frac{\sqrt{2}}{4}} ^2 \sqrt{4-x^2} dx\}$

となります。

上記の計算が正しいかはわかりませんが、一応、このようにして計算しました。

478×325 => 250×169