数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 大学入試 / Page: 0]

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■29102 / inTopicNo.1)

　大学入試

▼■

□投稿者/ ginnnann 一般人(1回)-(2007/11/02(Fri) 11:18:42)

90年の東工大(前期)の入試問題なのですが、わかりません...

教えてくださいm(_ _)m

457×95 => 250×51

90-2.GIF/2KB

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■29108 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 大学入試

▲▼■

□投稿者/ miyup 一般人(38回)-(2007/11/02(Fri) 13:22:07)

2007/11/02(Fri) 13:56:18 編集(投稿者)

$2$\sum_{i=1}^nx_i\log x_i\geq k\log \frac{k}{n}=n(\frac{k}{n}\log \frac{k}{n})$
で
$2$\frac{k}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$ （ $2$x_i$ の平均）より $2$\frac{k}{n}=x_{av}$
とおくと、証明すべき式は
$2$\sum_{i=1}^nx_i\log x_i\geq n(x_{av}\log x_{av})$
となります。
さらに $2$f(x)=x\log x$ とおけば
$2$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(x_i)\geq f(x_{av})$
であり、
$2$f(x)$ が $2$x>0$ において下に凸であれば、不等式は成り立ちます。
等号成立は
$2$x_1=x_2=\cdots =x_n$ のときです。
p.s.
$2$f(x)$ が直線の場合は常に等号が成立します。

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