数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 北大 / Page: 0]

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■29086 / inTopicNo.1)

　北大

□投稿者/ ある一般人(1回)-(2007/11/01(Thu) 20:53:34)

06年の北海道大学の問題です
0≦x≦2πで
f(x)=∫(0からx)e^t　cost　dt
の最大値をとるxとその最大値を求めよ

2回部分積分をやって、sin　cos　を合成して値を出したのですが、違っていました。

答え　x=2π　のとき1/2(　e^(2π)-1　)

できれば早めにお願いします

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■29092 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 北大

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□投稿者/ miyup 一般人(36回)-(2007/11/01(Thu) 23:40:39)

http://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/06/ho2.html
を参照

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■29094 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 北大

▲▼■

□投稿者/ ＤＡＮＤＹ　Ｕ一般人(6回)-(2007/11/01(Thu) 23:52:44)

たぶん途中までの方針はあっていると思います。
２回部分積分をして
∫e^t　cost　dt＝ｅ^t(sint＋cost)/2
∴f(x)=∫(0からx)e^t cost dt＝(1/2){ｅ^x(sinｘ+cosx)－１}
また、f'(x)＝e^x・cosx　で、f'(x)＝0 となるのは　ｘ＝π/4,3π/4
増減表を書くと、
　0≦ｘ＜π/4　で増加
　ｘ＝π/4　で極大値：ｆ(π/4)＝(1/2){e^(π/4)－1｝
　π/4＜ｘ＜3π/4　で減少
　ｘ＝3π/4　で極小値
　3π/4＜ｘ＜2π　で増加
　ｘ＝2π　のとき　ｆ(2π)＝(1/2){e^(2π)－１}
(1/2){e^(π/4)－1｝＜(1/2){e^(2π)－１} だから
ｆ(x)はｘ＝2π　のとき　最大値(1/2){e^(2π)－１} をとります。

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■29095 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 北大

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□投稿者/ ＤＡＮＤＹ　Ｕ一般人(7回)-(2007/11/02(Fri) 00:06:48)

miyup さん、かぶってすみません。（せっかく打ち込んだので残させてもらいます）

あるさん、私の上のレスにある
>f(x)=∫(0からx)e^t cost dt＝(1/2){ｅ^x(sinｘ+cosx)－１}
を合成して、f(x)＝(1/√2)ｅ^x・sin(ｘ+π/4)－1/2
として計算しても結果は同じことになります。（少しだけ計算に手間がかかるだけです）
　

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■29098 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 北大

▲▼■

□投稿者/ E 一般人(3回)-(2007/11/02(Fri) 00:32:45)

2007/11/02(Fri) 00:39:50 編集(投稿者)
2007/11/02(Fri) 00:38:27 編集(投稿者)
2007/11/02(Fri) 00:38:22 編集(投稿者)
2007/11/02(Fri) 00:35:50 編集(投稿者)

■No29086に返信(あるさんの記事)
> 06年の北海道大学の問題です
> 0≦x≦2πで
> f(x)=∫(0からx)e^t　cost　dt
> の最大値をとるxとその最大値を求めよ
>
> 2回部分積分をやって、sin　cos　を合成して値を出したのですが、違っていました。
>
> 答え　x=2π　のとき1/2(　e^(2π)-1　)
>
> できれば早めにお願いします

In[43]:=
f[x_] := Integrate[E^t*Cos[t], {t, 0, x}]
f[x]
f[2*Pi]

Out[44]=
-(1/2) + 1/2*E^x*(Cos[x] + Sin[x])

Out[45]=
-(1/2) + E^(2*Pi)/2

661×408 => 250×154

1193931579.gif/2KB

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