数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 積分評価 / Page: 0]

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■29062 / inTopicNo.1)

　積分評価

□投稿者/ atsu 一般人(1回)-(2007/10/31(Wed) 20:38:58)

$2$12.6< \displaystyle\int_0^{2\pi} {\left( {\sqrt{5-4\cos {x}}} \right)dx} <14.1$ を、示せ。

$2$\sqrt{x}$ の評価や、 $2$\cos {x}$ を、評価したり、
中身を $2$5-5\cos {x}$ にしたり、 $2$4-4\cos {x}$ にしたり...
自分である程度評価を試しましたが、こんなにきつい評価ができません。

助けてください。
お願いします。

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■29070 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分評価

▲▼■

□投稿者/ らすかる一般人(7回)-(2007/11/01(Thu) 10:21:27)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

とりあえず半分だけ出来ました。

√(5-4cosx)=√{9(1-cosx)/2+(1+cosx)/2}
=√{(3sin(x/2))^2+(cos(x/2))^2}
≧√(3sin(x/2))^2=3sin(x/2)　（∵0≦x/2≦π）

(5-4cosx)-(2-cosx)^2=1-(cosx)^2≧0 から
√(5-4cosx)≧2-cosx

よって
∫[0～2π]√(5-4cosx)dx
=2∫[0～π]√(5-4cosx)dx
=2{∫[0～π/2]√(5-4cosx)dx+∫[π/2～π]√(5-4cosx)dx}
≧2{∫[0～π/2]2-cosxdx+∫[π/2～π]3sin(x/2)dx}
=2{(π-1)+3√2}
＞2(2.1+4.2)
=12.6

残り半分が出来る自信はありません。

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■29074 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 積分評価

▲▼■

□投稿者/ X 一般人(6回)-(2007/11/01(Thu) 11:50:41)

2007/11/01(Thu) 11:53:40 編集(投稿者)

横から失礼します。
らすかるさんの残り半分は平均値の定理で出せるようです。

∫[0～2π]√(5-4cosx)dx
=2{∫[0～π/2]√(5-4cosx)dx+∫[π/2～π]√(5-4cosx)dx}
=2∫[0～π/2]{√(5-4cosx)+√(5+4cosx)}dx
(∵)第二項の積分でπ-x=tと置いて置換積分をした
ここで
f(x)=√(5-4cosx)+√(5+4cosx)
と置くと平均値の定理により
∫[0～2π]√(5-4cosx)dx=πf(a)
(0<a<π/2)
なるaが存在します。
f'(x)=2sinx{1/√(5-4cosx)-1/√(5+4cosx)}
=2sinx{{(5+4cosx)-(5-4cosx)}
/[√{(5-4cosx)(5+4cosx)}{√(5-4cosx)+√(5+4cosx)}]
=8sin2x/[√{(5-4cosx)(5+4cosx)}{√(5-4cosx)+√(5+4cosx)}]
∴0≦x≦π/2においてf(x)≧0
∴f(0)<f(a)<f(π/2)
∴4π<∫[0～2π]√(5-4cosx)dx<2π√5
2π√5<2・3.15・2.237=14.0931<14.1
ですので
∫[0～2π]√(5-4cosx)dx<14.1
となります。
ちなみに
4π>12.56
ですのでこの方法では左辺の方はうまくいかないようです。

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■29076 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 積分評価

▲▼■

□投稿者/ E 一般人(1回)-(2007/11/01(Thu) 12:28:09)

　　　　　　　　左半分　を　厳しく　　；
In[108]:=
Series[Sqrt[5 - 4*Cos[x]], {x, Pi, 6}]
n = Normal[%]
Integrate[n, {x, 0, 2*Pi}]
N[%]

Out[108]=
SeriesData[x, Pi, {3, 0, -1/3, 0, 1/108, 0,
1/9720}, 0, 7, 1]

Out[109]=
3 - 1/3*(-Pi + x)^2 + 1/108*(-Pi + x)^4 +
(-Pi + x)^6/9720

この６次函数と　与函数Sqrt[5 - 4*Cos[x]の上下関係　添付

Out[110]=
6*Pi - (2*Pi^3)/9 + Pi^5/270 + Pi^7/34020

Out[111]=
13.181458385020699<積分値
12.6<13.181458385020699
故に12.6<積分値

538×332 => 250×154

1193887689.gif/2KB

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■29079 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 積分評価

▲▼■

□投稿者/ E 一般人(2回)-(2007/11/01(Thu) 15:39:55)

■No29076に返信(Eさんの記事)
> 　　　　　　　　　厳しく　　；
参考まで；
下から　狭間　　上から

599×599 => 250×250

1193899195.gif/11KB

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