 | 2007/10/30(Tue) 22:58:39 編集(投稿者)
2007/10/30(Tue) 22:52:10 編集(投稿者)
■No29040に返信(鍵の探求者さんの記事)
> ○ｆ（x）＝x＾3＋3ax^2（a＞０）が‐２≦x≦２の範囲において最大値24を持つ時、aの値を求めよ。
>
> で、ｆ（x）＝x＾3＋3ax^2を微分しｆ’（x）＝3x＾2＋6ax＝3x（x＋2a）で
> x＝０、−2aのときｆ’（x）＝０
> ｆ（‐2a）＝-8a＾3＋12a^2=4a^3、ｆ（０）＝０
> これを基に増減表を作りグラフを書いたまではいいのですが、a＞０、a＜０の
> 場合で分ける必要があると言われました。aがa＞０とa＜０の場合で範囲内で
> 変化するためだと思うのですが、この場合分けは具体時にはどのように計算
> すればいいのでしょうか？ｆ（a）<0のようにすればいいのでしょうか？
> x＝2の時、最大でｆ（x）＝12a＋8＝24、12a＝16、a＝4/3だという事は
> 解ります。（解答はa＝4/3です）返答頂けたら幸いです。お願いします。
f'(x)=0 となるとき x=-2a,0 で、a＞0 より常に -2a＜0 である。
下図について
点A,B,Cは x=-2a(極大)である点で
青：a=1(-2a=-2)、赤：a=2(-2a=-4)、青：a=5/2(-2a=-5) のときのグラフ。[ただしy軸方向は正確でない]
-2≦x≦2 の範囲で
各グラフの最大となる点はP,Q,Rで、x=2 のときである。
答案としては
f(0)が最小値であるから、比較するのは f(-2) と f(-2a) とf(2) であり
場合分けとして考えられるのは
i)-2≦-2a(0＜a≦1)のときの f(-2a)とf(2)の比較
ii)-2a＜-2(1＜a)のときの f(-2)とf(2)の比較
である。
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