 | ■No28983に返信(サプレッサーさんの記事)
> nを正の整数とする。1から5の数字が書かれたカードが1枚ずつ計5枚あり、この中から無作為に1枚を引いて数字を確認してもとに戻すという試行をn回繰り返す。引いたカードの数字を1の位から順に並べてn桁の数を作る時
> (1)3の倍数となる確率を求めよ
n回繰り返したあと、3の倍数になる確率をp[n]、3の倍数+1 になる確率をq[n]、3の倍数+2 になる確率をr[n] とする。
p[n]+q[n]+r[n]=1,p[1]=1/5,q[1]=r[1]=2/5 で
p[n]
=1/5・p[n-1]+2/5・q[n-1]+2/5・r[n-1] ← q[n-1]+r[n-1]=1-p[n-1]
=1/5・p[n-1]+2/5・(1-p[n-1])
=-1/5・p[n-1]+2/5 より
∴p[n]=-2/15・(-1/5)^(n-1)+1/3
(同様に q[n]=r[n]=1/15・(-1/5)^(n-1)+1/3 )
> (2)4の倍数となる確率を求めよ
下２桁が４の倍数になればよい。具体的には 12,24,32,44,52 の５通り。
∴5/25 = 1/5
> (3)12の倍数となる確率を求めよ
下２桁が４の倍数になって、残りn-2桁分と併せて３の倍数になればよい。
12,24 のとき、残りは３の倍数になる
32,44 のとき、残りは３の倍数+1 になる
52 のとき、残りは３の倍数+2 になる
よって
2/25・p[n-2]+2/25・q[n-2]+1/25・r[n-2]
=1/3・(-1/5)^n+1/15
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