数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 特性方程式 / Page: 0]

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■28973 / inTopicNo.1)

　特性方程式

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□投稿者/ 透弥一般人(1回)-(2007/10/26(Fri) 12:55:44)

特性方程式、二項間漸化式で、何故A(n＋１）とAnを同じαとおいてもよいのでしょうか？
極限を用いればよいのはわかるのですが、うまく書けません。

よい書き方を教えてください。

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■28974 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 特性方程式

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□投稿者/ しろりん一般人(3回)-(2007/10/26(Fri) 13:20:03)

質問の意図がはっきりしませんが
たとえば
$2$a_{n+1}=3a_n-2$
$2$a_1=2$
で一般項を求めよという問題の書き方でいいのでしょうか

僕なら
$2$\alpha=3\alpha-2$
$2$\alpha=1$
などという式には一切触れないで
いきなり
「この漸化式は、このように変形できる
　 $2$a_{n+1}-1=3(a_n-1)$
」
と書きます
なぜなら、この特性方程式の意味を聞かれているならともかく
あまり、問題を解くことからはかけ離れてしまうからです

結果としてこの式の答えを使うと
等比数列に帰着して、解けるうまい値という認識で
いいのではと思うのですが・・・

ちなみに
どうしてうまくいくのかは
わかっていますよね

質問意図が違うなら、詳しく説明して下さい

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■28975 / inTopicNo.3)

　蛇足かも知れませんが

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□投稿者/ 七一般人(1回)-(2007/10/26(Fri) 13:32:09)

a_[n＋1]＝pa_[n]＋q … (1)
の形を
a_[n＋1]－α＝p(a_[n]－α) … (2)
の形にしたいからで
特に極限には関係ないと思います。
(2) を変形して
a_[n＋1]＝pa_[n]－pα＋α
(1) と比較して
－pα＋α＝q
α＝pα＋q でこれが特性方程式ですよね。

もちろん |p|＜1 のときは (2) より
a_[n]－αは0に収束するから
a_[n] の極限は αになりますが…

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■28976 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 特性方程式

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□投稿者/ 透弥一般人(2回)-(2007/10/26(Fri) 16:33:16)

補足です。
数学Ⅲの極限において、lim(n→∞）An=lim(n→∞）A(n＋1)になるので、収束する場合は漸化式の極限値をこのαは表している。ということの詳しい説明がわからないので教えてください。

また漸化式の図示において、漸化式から直線y=2x＋1を考えると点[An,A(n＋1）］はこの直線状にあり、直線y=xを考えると以下の点列が表れる。
(a1,0)(a1,a2)(a2,a2)(a2,a3)(a3,a3)・・・・
この点列は二直線の交点の（２，２）に近づく。

これから極限値が予測できるというのですが、何故、漸化式の図示を考えるときにy=xを考えるのでしょうか？教えてください。
お願いします。

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■29016 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 特性方程式

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□投稿者/ しろりん一般人(4回)-(2007/10/29(Mon) 14:38:05)

■No28976に返信(透弥さんの記事)
> 数学Ⅲの極限において、lim(n→∞）An=lim(n→∞）A(n＋1)になるので、収束する場合は漸化式の極限値をこのαは表している。ということの詳しい説明がわからないので教えてください。

lim(n→∞）An=lim(n→∞）A(n＋1) は当然ですね。
とはいっても，感覚的なものですよね
大学に行って，極限値の定義を勉強して理解してください

なお後半部分の極限値を表しているということですがこれも
解いてみれば、当然です。
具体例を挙げてみます
$2$3a_{n+1}=a_n+2$
$2$a_1=0$
の一般項を求めよ

解
この式は
$2$a_{n+1}-1=\frac13(a_n-1)$
と変形できるから
数列 $2${a_n-1}$ は，等比数列で初項-1，公比 $2$frac13$
よって
$2$a_n-1=-(\frac13)^{n-1}$
$2$a_n=-(\frac13)^{n-1}+1$

等比数列が収束するなら，公比は-1より大きく1より小さい
ときでその収束する値は0（公比=1でも収束はしますがこの場合は無視）
とすれば
$2$\alpha=1$
と数列 $2${a_n}$ の極限が一致するのは明らかでしょう

> また漸化式の図示において、漸化式から直線y=2x＋1を考えると点[An,A(n＋1）］はこの直線状にあり、直線y=xを考えると以下の点列が表れる。
> (a1,0)(a1,a2)(a2,a2)(a2,a3)(a3,a3)・・・・
> この点列は二直線の交点の（２，２）に近づく。
>
> これから極限値が予測できるというのですが、何故、漸化式の図示を考えるときにy=xを考えるのでしょうか？教えてください。
> お願いします。

すみません
質問の内容がよく分かりません
問題文を詳しく教えて下さい
これだけでは
具体的に、その内容のもとになる
問題を考えなくてはいけません
それは、問題を解き、それを理解してもらう手間に
比べて数倍時間がかかることです

問題文さえ
問題文さえ
教えていただければ・・・

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■29059 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 特性方程式

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□投稿者/ 透弥一般人(3回)-(2007/10/31(Wed) 18:35:55)

後半は自分で解決できました。問題は書いたもののみです。
ありがとうございました。

解決済み!

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