数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 不等式の証明 / Page: 0]

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■28951 / inTopicNo.1)

　不等式の証明

□投稿者/ りんりん一般人(1回)-(2007/10/25(Thu) 10:40:52)

全ての実数xについて(cosx)^2≧1-x^2であることを示し、これを用いて次の不等式を証明せよ。cos(1/2)cos(1/3)……cos(1/n)＞2/3(n=2,3,4,…)

最初の不等式も示せていません。教えてください。最初の不等式をどのように2つ目の不等式に結びつけるかも教えてください。お願いします。

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■28952 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 不等式の証明

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□投稿者/ だるまにおん一般人(8回)-(2007/10/25(Thu) 11:08:41)

(cosx)^2≧1-x^2について：
(cosx)^2,1-x^2ともに偶函数なので、x≧0の場合についてのみ示せばOK。
x≧0のときx≧sinxなので(cosx)^2+x^2≧(cosx)^2+(sinx)^2=1
∴(cosx)^2≧1-x^2

cos(1/2)cos(1/3)……cos(1/n)＞2/3について：
上の不等式より
(cos(1/2))^2≧1-(1/2)^2=(1/2)(3/2)
(cos(1/3))^2≧1-(1/3)^2=(2/3)(4/3)
(cos(1/4))^2≧1-(1/4)^2=(3/4)(5/4)
・・・
(cos(1/n))^2≧1-(1/n)^2=((n-1)/n)((n+1)/n)
これらの不等式を辺々乗じると
(cos(1/2))^2(cos(1/3))^2(cos(1/4))^2…(cos(1/n))^2≧(n+1)/(2n)＞1/2＞4/9
∴cos(1/2)cos(1/3)cos(1/4)…cos(1/n)＞2/3

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■28953 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 不等式の証明

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□投稿者/ だるまにおん一般人(9回)-(2007/10/25(Thu) 11:24:36)

2007/10/25(Thu) 11:25:52 編集(投稿者)

No28645
No28648
も参考にしてください。

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