数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 2円の直交 / Page: 0]

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■28903 / inTopicNo.1)

　2円の直交

▼■

□投稿者/ ゴン一般人(1回)-(2007/10/23(Tue) 00:43:23)

2円C1：x^2+y^2-4y+a^2+2=0,C2:x^2+y^2-2x-2y+a^2-2a+2=0が接するまたは直交するときのaの値の範囲を求めよ。

宿題なのですが、お手上げ状態です。どなたか助けてください。

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■28906 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 2円の直交

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□投稿者/ らすかる一般人(2回)-(2007/10/23(Tue) 07:25:23)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

変形すると
C1は x^2+(y-2)^2=2-a^2 なので、中心は (0,2)
C2は (x-1)^2+(y-1)^2=2a-a^2 なので、中心は (1,1)
2円の中心間の距離は√2
C1が円になるためには 2-a^2＞0 より -√2＜a＜√2
C2が円になるためには 2a-a^2＞0 より 0＜a＜2
よって両者が円になるaの範囲は 0＜a＜√2
このとき
C1の半径は 0＜r1＜√2
C2の半径は 0＜r2≦1
どちらも2円の中心間距離より小さいので、内接することはない。
外接するとき √(2-a^2)+√(2a-a^2)=√2
これを解くと a=0,4/3 となり、適解は a=4/3

2円の交点を通る直線の方程式は
(x^2+y^2-4y+a^2+2)-(x^2+y^2-2x-2y+a^2-2a+2)=0
整理して y=x+a
2円の中心を直径の両端とする円の方程式は
(x-1/2)^2+(y-3/2)^2=1/2
この円とC1との交点を通る直線の方程式は
(x^2+y^2-4y+a^2+2)-{(x-1/2)^2+(y-3/2)^2-1/2}=0
整理して y=x+a^2
2円が直交するためにはこれら2直線が一致すればよいので
a=a^2
∴a=0,1 このうち適解は a=1

以上により
2円が接するのは a=4/3 のとき
2円が直交するのは a=1 のとき

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■28912 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 2円の直交

▲▼■

□投稿者/ Grad NH=f^(-1)(K) 一般人(1回)-(2007/10/23(Tue) 14:30:27)

■No28903に返信(ゴンさんの記事)
> 2円C1：x^2+y^2-4y+a^2+2=0,C2:x^2+y^2-2x-2y+a^2-2a+2=0が
直交するときのaの値の範囲を求めよ。
>
Solve[{x^2 + y^2 - 4*y + a^2 + 2 == 0,
x^2 + y^2 - 2*x - 2*y + a^2 - 2*a + 2 ==
0, 2*a + 2*x - 2*y == 0,
{D[x^2 + y^2 - 4*y + a^2 + 2, x],
D[x^2 + y^2 - 4*y + a^2 + 2, y]} .
{D[x^2 + y^2 - 2*x - 2*y + a^2 - 2*a +
2, x], D[x^2 + y^2 - 2*x - 2*y +
a^2 - 2*a + 2, y]} == 0}, {x, y, a}]
={{a -> 0, x -> 1, y -> 1},
{a -> 1, x -> 0, y -> 1},
{a -> 1, x -> 1, y -> 2}}

397×397 => 250×250

1193117427.gif/4KB

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■28913 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 2円の直交

▲▼■

□投稿者/ Grad NH=f^(-1)(K) 一般人(2回)-(2007/10/23(Tue) 16:19:04)

■No28903に返信(ゴンさんの記事)
> 2円C1：x^2+y^2-4y+a^2+2=0,C2:x^2+y^2-2x-2y+a^2-2a+2=0が接する
Solve[{x^2 + y^2 - 4*y + a^2 + 2 == 0,
x^2 + y^2 - 2*x - 2*y + a^2 - 2*a + 2 ==
0, 2*a + 2*x - 2*y == 0,
D[x^2 + y^2 - 4*y + a^2 + 2, x] ==
k*D[x^2 + y^2 - 2*x - 2*y + a^2 - 2*a +
2, x], D[x^2 + y^2 - 4*y + a^2 + 2,
y] == k*D[x^2 + y^2 - 2*x - 2*y + a^2 -
2*a + 2, y]}, {x, y, a, k}]

={{k -> -(1/2), a -> 4/3, x -> 1/3, y -> 5/3}}

348×355 => 245×250

1193123944.gif/3KB

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