 | 問題は『6^5-1は5^2で割り切れることを示せ』でいいんですね?
moominさんの解法は，是非出来てほしい解法なのですが，少し，代数計算として高度(かもしれない)ことをしておられるので，
異なった方法と，moominさんの補足の2つを書きます．
・異なった方法
6^5-1は筆算の掛け算ができれば，簡単に計算できます．⇒ 6^5-1=7775なので，これが5^2=25で割り切れるか考えればよい．
ここも割り算の筆算をしましょうか．7775÷25=311なので，割り切れる．
ちなみに，割り算をしなくても良い方法もあります．
『5の倍数』は「一の位が0か5」となる数字です．(←つまり下一ケタが5で割れればよい)
『5^2=25の倍数』は「下2ケタが00,25,50,75」となる数字です．(←つまり下二ケタが25で割れればよい)
となるので，下二ケタが"75"となる6^5-1は25で割り切れるわけです．
さて，簡単な方法で証明は出来ましたが，もう一つ質問されているものにつなげるためにも，moominさんの方法もしっかり理解してください．
・moominさんの補足
因数分解の有名な公式にx^n-y^n=(x-y){x^(n-1)+x^(n-2)y+…+xy^(n-2)+y^(n-1)}…①と言うものがあります．知らなければ，参考書を読んでください．
(例えば，n=2ならx^2-y^2=(x-y)(x+y)，n=3なら(x-y)(x^2+xy+y^2)，n=4ならx^4-y^4=(x-y)(x^3+x^2y+xy^2+y^3)など)
ここで，y=1となる場合を考えましょう．1は何乗しても1なので①にy=1を代入すると
『x^n-1=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)…+1)』となります．
6^5-1は，この因数分解公式(x=6,n=5)に代入すると
6^5-1=(6-1)(6^4+6^3+6^2+6^1+1)となります．(1=6^0なので，moominさんのものと一致します)
ここで，(6-1)(6^4+6^3+6^2+6^1+6^0)は2つのカッコから出来ていますが
6-1=5は5で割り切れます．だから，もし『後ろのカッコの部分が5で割り切れた』ら因数分解したものは25で割り切れると言うことになります．
しかし，(6^4+6^3+6^2+6^1+6^0)を実際に計算するのは，あまり利口な方法とは言えないのでやめときましょう．
そこで，moominさんの『6^nを5で割ると余り1』を紐解いてゆきましょう．
6を5で割ると余り1ですよね．そこで，6=5+1とすると
6^2=(5+1)^2=5^2+2*5+1となりますが，5^2と2*5は5で割り切れる(言い換えると5の倍数)から，6^2を5で割ると余り1．
6^3=(5+1)^3=5^3+3*5^2+3*5+1となりますが，やっぱり5^3も3*5^2も3*5も5で割り切れるから，6^3を5で割ると余り1．
…
6^n (nは自然数なら何でもよし)=(5+1)^n=5^n+{nC1}*5^(n-1)+…+{nC(n-1)}*5+1という展開公式がありますよね．
これも知らなければ，参考書を調べてください．
で，これも最後の1以外は5の倍数だから5で割り切れるし，6^nを5で割ると余り1となります．
よって，(6^4+6^3+6^2+6^1+1)は5で割ると余りがいくつになるか考えると，
1は5で割ると余り1で，6^1,6^2,6^3,6^4は，それぞれ先ほどの理由により5で割ると余り1なので，全部足すと
(6^4+6^3+6^2+6^1+1)は，5で割ると余り5．しかし，5で割った余りは0～4の間に来なければいけないので，5で割ると余り0ということになります．
従って，(6^4+6^3+6^2+6^1+1)は5で割り切れると言うことになります．
従って，6^5-1=5*(6^4+6^3+6^2+6^1+0)は5*5=25で割り切れることになる．
と言う具合です．
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