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■28652 / inTopicNo.1) 　質問です(定積分)
  ▼■
□投稿者/ 亜季 一般人(8回)-(2007/10/13(Sat) 13:24:40)
    静岡大の過去問で

    Ｎ,ｍ,ｎを自然数とする
    (1)Σ[k＝1〜4N]ksin^2(kπ/4)＝4N^2
    (2)∫[0〜π]cosmxcosnxdx
    m＝nのときπ/2
    m≠nのとき0

    まではわかったのですが

    (3)
    ∫[0〜π](Σ[k＝1〜4N]√k×sin(kπ/4)coskx)^2dx
    ＝4N^2Σ[k＝1〜4N]∫[0〜π]cos^2kxdx
    ＝………

    と繋がるのが何故かわかりません…
    教えてください
    お願いします


    (携帯)
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■28653 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 質問です(定積分)
□投稿者/ X 付き人(79回)-(2007/10/13(Sat) 13:57:24)
    >>∫[0〜π](Σ[k＝1〜4N]√k×sin(kπ/4)coskx)^2dx
    >>＝4N^2Σ[k＝1〜4N]∫[0〜π]cos^2kxdx
    は間違っていると思います。

    (Σ[k=1〜4N]√k×sin(kπ/4)coskx)^2
    =Σ[k=1〜4N]Σ[l=1〜4N](√k×sin(kπ/4)coskx)(√l×sin(lπ/4)coslx)
    =Σ[k=1〜4N]Σ[l=1〜4N]k{(sin(kπ/4))^2}(coskx)(coslx)
    ∴
    (与式)=∫[0〜π](Σ[k=1〜4N]Σ[l=1〜4N]k{(sin(kπ/4))^2}(coskx)(coslx))dx
    =Σ[k=1〜4N]Σ[l=1〜4N]k{(sin(kπ/4))^2}{∫[0〜π](coskx)(coslx)dx}
    これに(2)の結果(m≠nのとき)を使うと
    (与式)=Σ[k=1〜4N]k{(sin(kπ/4))^2}{∫[0〜π](coskx)^2dx}
    更に(2)の結果(m=nのとき)を使うと
    (与式)=Σ[k=1〜4N]k{(sin(kπ/4))^2}(π/2)
    =(π/2)Σ[k=1〜4N]k{(sin(kπ/4))^2}
    これに更に(1)の結果を使って
    (与式)=2πN^2
    となります。
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