数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 微分と極限の問題 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ3 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■28494 / inTopicNo.1)

　微分と極限の問題

□投稿者/ micron 一般人(1回)-(2007/10/07(Sun) 23:53:36)

関数 f(x) は区間 0≦x≦1 において連続で 0≦f(x)≦1 を満たす。
このとき次の問いに答えよ。
f(x) が微分可能 lf'(x)l≦1/2 を満たすならば、
0≦x[1]≦1 とし x[n+1]=f(x[n]) (n=1,2,3・・・・)
によって定義される数列 {x[n]} は n→∞ のとき収束することを証明せよ。

まったく手も足も出ません助けてください。
後、これと同じような問題を探しているのですが、
問題集のどのような分野のところに出てくるのか教えていただければ助かります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■28500 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分と極限の問題

▲▼■

□投稿者/ はまだ一般人(26回)-(2007/10/08(Mon) 12:50:47)

c=f(c) を満たす定数cに収束するような気がするので、
|x[n]-c|　が0に収束することを証明します。
　|x[n+1]-c|=|f(x[n])-f(c)|=|∫[c,x[n]]f'(t)dt|
　　　　　　≦|∫[c,x[n]](1/2)dt|≦1/2|x[n]-c|
これより、|x[n]-c|≦(1/2)^(n-1)*|x[1]-c|→0　です。

ところで、cの存在証明ですが
　g(x)=f(x)-xとおいて
　g(x)は連続、g(0)≧0-0＝0、g(1)≦1-1＝0　より
　区間[0,1]にg(c)=0となる実数cが存在します。
しかも、ただ1つです。
　c≠d　でf(c)=c、f(d)=d　と仮定すると
　1＝{f(c)-f(d)}/(c-d)＝∫[d,c]f'(t)dt/(c-d)≦1/2(c-d)/(c-d)=1/2　矛盾

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■28520 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 微分と極限の問題

▲▼■

□投稿者/ micron 一般人(2回)-(2007/10/08(Mon) 23:56:19)

解説どうもありがとうございました。とても参考になりました。

少し疑問点があるのですが、答えていただければ助かります。

>c=f(c) を満たす定数cに収束するような気がするので
↑のc=f(c)を満たす定数cに収束するというのは、
どのようにして見つけられたのでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■28528 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 微分と極限の問題

▲▼■

□投稿者/ はまだ一般人(28回)-(2007/10/09(Tue) 10:27:58)

収束するならば
x[n+1]とx[n]は　ほぼ等しくなるはずです。これをcとおくと
c=f(c) です。