数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: ベクトルを用いる？ / Page: 0]

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■28476 / inTopicNo.1)

　ベクトルを用いる？

□投稿者/ なおみ一般人(4回)-(2007/10/07(Sun) 17:10:34)

Oを原点とするxy平面上の2点A(-2,2)B(2,6)がある。線分OA上の点P、線分OB上の点Qを
OP=(1-t)OA,OQ=tOB（0≦t≦1）で定め、tが0≦t≦1の範囲で動く時線分PQの通過する領域を図示し、その面積を求めよ。

ベクトルを用いたらよいのでしょうか？済みません、お願いします☆

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■28511 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ベクトルを用いる？

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□投稿者/ なおみ一般人(5回)-(2007/10/08(Mon) 19:07:35)

> Oを原点とするxy平面上の2点A(-2,2)B(2,6)がある。線分OA上の点P、線分OB上の点Qを
> OP=(1-t)OA,OQ=tOB（0≦t≦1）で定め、tが0≦t≦1の範囲で動く時線分PQの通過する領域を図示し、その面積を求めよ。
>
> ベクトルを用いたらよいのでしょうか？済みません、お願いします☆

$2$\vec{OP}$ =(1-t) $2$\vec{OA}$
$2$\vec{OQ}$ =t $2$\vec{OB}$ とおいてみたのですが、ここからが見当もつかないもので。
どなたかお願い申し上げますm(__)m

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■28597 / inTopicNo.3)

　Re[2]: ベクトルを用いる？

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□投稿者/ ゆう一般人(14回)-(2007/10/11(Thu) 04:09:37)

2007/10/11(Thu) 23:49:15 編集(投稿者)
2007/10/11(Thu) 23:48:14 編集(投稿者)

■No28511に返信(なおみさんの記事)
>>Oを原点とするxy平面上の2点A(-2,2)B(2,6)がある。線分OA上の点P、線分OB上の点Qを
>>OP=(1-t)OA,OQ=tOB（0≦t≦1）で定め、tが0≦t≦1の範囲で動く時線分PQの通過する領域を図示し、その面積を求めよ。
>>
>>ベクトルを用いたらよいのでしょうか？済みません、お願いします☆
>
> $2$\vec{OP}$ =(1-t) $2$\vec{OA}$
> $2$\vec{OQ}$ =t $2$\vec{OB}$ とおいてみたのですが、ここからが見当もつかないもので。
> どなたかお願い申し上げますm(__)m

$2$\vec{OP} = \left(1-t \right) \vec{OA} = \left(-2+2t, 2-2t \right)$

$2$\vec{OQ} = t \vec{OB} = \left(2t, 6t \right)$

$2$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \left(2, 8t-2 \right)$

$2$|\vec{PQ}| = \sqrt{2^2 + \left(8t-2 \right)^2} = \sqrt{8 \left(8t^2 - 4t + 1 \right)}$

（面積） = $2$\displaystyle\int_0^1 {\sqrt{8 \left(8t^2 - 4t + 1 \right)} dt}$

で多分良いと思います。
ちなみに最近積分やってないので、答えは分かりません orz

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■28650 / inTopicNo.4)

　Re[3]: ベクトルを用いる！

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□投稿者/ なおみ一般人(6回)-(2007/10/13(Sat) 13:01:49)

分かりました。あと
$2$\displaystyle\int_0^1 {\sqrt{8 \left(8t^2 - 4t + 1 \right)} dt}$
の計算なのですが、置換積分を用いてもどうもうまくいきません。お手数ですが、どなたかお助け下さい☆

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■28657 / inTopicNo.5)

　Re[4]: ベクトルを用いる！

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□投稿者/ X 付き人(82回)-(2007/10/13(Sat) 18:06:10)

I=∫[0→1]√(8t^2-4t+1)dt
とすると
I=∫[0→1]√{8(t-1/4)^2+1/2}dt
=[(t-1/4)√{8(t-1/4)^2+1/2}][0→1]
-∫[0→1][{8(t-1/4)^2}/√{8(t-1/4)^2+1/2}]dt
=((3/4)√5+1/4)
-I+(1/2)∫[0→1]dt/√{8(t-1/4)^2+1/2}
∴
I=(1+3√5)/8+(1/2)∫[0→1]dt/√{8(t-1/4)^2+1/2}
=(1+3√5)/8+(1/√2)∫[0→1]dt/√{(4t-1)^2+1}
と変形しておいて4t-1=tanθと置くと
4dt=dθ/(cosθ)^2
で
I=(1+3√5)/8+(1/√2)∫[-π/4→a]{(cosθ)/(cosθ)^2}dθ
(但しaはtana=3,0<a<π/2なる値)
=(1+3√5)/8+(1/√2)∫[-π/4→a]{(cosθ)/{1-(sinθ)^2}}dθ
=(1+3√5)/8+(1/√2)∫[-π/4→a]{(cosθ)/{(1-sinθ)(1+sinθ)}}dθ
=(1+3√5)/8+{1/(2√2)}∫[-π/4→a]{1/(1+sinθ)+1/(1-sinθ)}(cosθ)dθ
=(1+3√5)/8+{1/(2√2)}[log{(1+sinθ)/(1-sinθ)}][-π/4→a]
後は
1+1/(tana)^2=1/(sina)^2
を使ってsinaの値を計算します。

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■28659 / inTopicNo.6)

　Re[5]: ベクトルを用いる！

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□投稿者/ U.T 一般人(1回)-(2007/10/13(Sat) 19:00:44)

Xさんの積分計算は正しいと思いますが、そもそも
求める面積＝ $2$\displaystyle\int_0^1 {{\sqrt{8(8t^2-4t+1)}}dt}$
にはなりません。

PQの通過領域の境界における軌跡（レス２にある図上の放物線の軌跡）を求め面積を計算する方針でいきます。

PQを通る直線の方程式は
$2$ y=(4t-1)x-8t^2+8t$

あるｘ（-2≦ｘ≦2）について、パラメータｔを0≦ｔ≦1で動かした時に最大となるｙが、境界の軌跡であるので
$2$ y=(4t-1)x-8t^2+8t$
$2$ =-8t^2+4(x+2)t-x$
$2$ =-8\left(t-\frac{x+2}{4}\right)^2+\frac{1}{2}(x+1)^2+\frac{3}{2}$

$2$t=\frac{x+2}{4}$ は-2≦x≦2について0≦t≦1を満たすので、放物線の方程式は
$2$y=\frac{1}{2}(x+1)^2+\frac{3}{2}$

よって求める面積は

$2$\displaystyle\int_2^2 {{\left{\frac{1}{2}(x+1)^2+\frac{3}{2}\right}dx}-\frac{1}{2}*2*2-\frac{1}{2}*2*6$
$2$=\frac{8}{3}$

となります。

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■28661 / inTopicNo.7)

　（削除）

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□投稿者/ -(2007/10/13(Sat) 19:46:02)

この記事は(投稿者)削除されました

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■28662 / inTopicNo.8)

　Re[3]: ベクトルを用いる？

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□投稿者/ U.T 一般人(2回)-(2007/10/13(Sat) 20:12:16)

Nさんは
OP=(1-t)OA,OQ=TOB（0≦t≦1）,（0≦T≦1）
のように勘違いしていませんか？
それぞれ独立に動くわけではないので、レス６のようにはなりませんね。

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■28663 / inTopicNo.9)

　Re[4]: ベクトルを用いる？

▲▼■

□投稿者/ N 一般人(7回)-(2007/10/13(Sat) 20:14:41)

2007/10/13(Sat) 20:51:56 編集(投稿者)
2007/10/13(Sat) 20:47:03 編集(投稿者)
2007/10/13(Sat) 20:26:12 編集(投稿者)
2007/10/13(Sat) 20:22:13 編集(投稿者)
2007/10/13(Sat) 20:21:28 編集(投稿者)

■No28662に返信(U.Tさんの記事)
> Nさんは
> OP=(1-t)OA,OQ=TOB（0≦t≦1）,（0≦T≦1）
> のように勘違いしていませんか？
> それぞれ独立に動くわけではないので、レス６のようにはなりませんね。
誤解しておりました。（ので削除しました）

　　
　　　　　　　　　　図は
http://b4.spline.tv/study777/?command=GRPVIEW&num=363
　　　　　　　　が　正しく

　　　　　　　　後半部は易しい；
包絡線を与える函数を敢えて隠匿し；

{Integrate[包絡線を与える函数, {x, -2, 2}],
1/2*2*2 + 1/2*2*6}
={32/3, 8}

32/3-8=8/3<--コタエ
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
http://b4.spline.tv/study777/?command=GRPVIEW&num=364

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■28717 / inTopicNo.10)

　Re[5]: ベクトルを用いる？

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□投稿者/ なおみ一般人(7回)-(2007/10/16(Tue) 18:33:41)

分かりました。みなさん、長々とお付き合い頂き、ありがとうございました☆

解決済み!

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