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C:閉集合Cは空でない内部を持ち,境界の各点で支持超平面を持つと言う。Cが凸集合を示せ
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□投稿者/ kana 一般人(8回)-(2007/10/07(Sun) 11:57:07)
 | 宜しくお願い致します。
[問]R^n⊃C:閉集合において、
Cは空でない内部を持ち、境界の各点で支持超平面を持つと言う。Cが凸集合をなす事を示せ。
はどうやって示せますでしょうか?
定義は下記の通りです。
内部の定義は「内点全部の集合を内部と呼ぶ」
境界の定義は「境界点全部の集合を境界と呼ぶ」
凸集合の定義は
「集合M⊂R^nについて任意の２つのベクトル x,y∈M と正の実数m (0≦m≦1) について，
mx＋(1-m)y∈mが成立するとき，Mは凸集合であると呼ぶ」
凸多面体の定義は「{x∈R^n;Ax≦b}の解集合を凸多面体と呼ぶ(Aはm×n行列。bはmベクトル。但し,ここでの"≦"は各成分について"≦"である事を意味する)」
R^n⊃H+,H-の定義はそれぞれ{x∈R^n;Σ[i=1..n](ai)(xi)≧α},{x∈R^n;Σ[i=1..n](ai)(xi)≦α}
(但し,(a1,a2,…,an)≠(0,0,…,0))
支持超平面の定義は
「R^n⊃H:超平面,R^n⊃P:凸多面体の時,(i) P⊂H+ 又は P⊂H- (H+:上半空間,H-:下半空間) (ii)φ≠P∩HはPの真部分集合」
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