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■28446 / inTopicNo.1) 　３次関数の決定
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□投稿者/ モアイ像 一般人(1回)-(2007/10/06(Sat) 15:26:58)
    はじめまして、みなさんのお力をお借りしたく参りました。

    次の条件をみたす３次関数f(x)をすべて求めよ。
    f(0)=0,f(3)=1
    f(x)の極小値は0である。
    方程式f(x)=0の解はすべて整数である。
    1/5≦|f(-1)|≦1/3
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■28448 / inTopicNo.2) 　Re[1]: ３次関数の決定
□投稿者/ X 付き人(66回)-(2007/10/06(Sat) 17:17:44)
    2007/10/06(Sat) 17:18:51 編集(投稿者)

    f(x)は三次関数でf(0)=0
    更に方程式f(x)=0の解はすべて整数である
    以上から
    f(x)=x(x-a)(x-b) (A)
    (a,bは整数)
    と置くことができます。
    f(3)=1ゆえ(A)より
    3(a-3)(b-3)=1 (B)
    又
    f'(x)=3x^2-2(a+b)x+ab (C)
    でf(x)の極小値は0ですので
    f'(a)=0
    f'(b)=0
    f'(0)=0
    のいずれかが成立しなければなりません。
    (C)よりこれらは
    3a^2-2(a+b)a+ab=0 (E)
    3b^2-2(a+b)b+ab=0 (F)
    ab=0 (G)
    (i)(E)のとき
    a^2-ab=0
    (a-b)a=0
    ∴a=0,b
    a=0のとき
    (B)よりb=26/3ゆえ不適
    a=bのとき
    (B)よりa=b=3±1/√3ゆえ不適
    (ii)(F)のとき
    b^2-ab=0
    ∴b=0,a
    となるがこれも(i)と同様な理由により不適。
    (iii)(G)のとき
    a=0又はb=0
    となるが(B)よりこれも不適。

    以上より条件を満たすf(x)は存在しません。(問題文にタイプミスはありませんか？)
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■28449 / inTopicNo.3) 　Re[1]: ３次関数の決定
□投稿者/ らすかる 大御所(891回)-(2007/10/06(Sat) 18:37:23)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp
    f(x)は三次関数
    f(0)=0
    f(x)=0の解はすべて整数
    f(x)の極小値は0
    の４つの条件から、f(x)は
    x=0で極小値をとる場合 f(x)=ax^2(x-b)
    （aは0でない実数、bは0でない整数、aとbは異符号）　… (1)
    または
    x≠0で極小値をとる場合 f(x)=ax(x-b)^2
    （aは正の実数、bは正の整数　∵f(3)＞0）　… (2)
    とおける。

    (1)の場合
    f(3)=1 から 9a(3-b)=1
    この式からb≠3なので a=1/{9(3-b)}
    1/5≦|f(-1)|≦1/3 から 1/5≦|a(b+1)|≦1/3
    この式はb=-1のとき成り立たないので、b≦-2 または b≧1
    aとbは異符号なので a(b+1)＜0
    よって 1/5≦-a(b+1)≦1/3
    a=1/{9(3-b)} を代入して 1/5≦-(b+1)/{9(3-b)}≦1/3
    これを解いて 5≦b≦8
    逆に 5≦b≦8 ならば f(x)=ax^2(x-b) は他の条件をすべて満たす。

    (2)の場合
    f(3)=1 から 3a(3-b)^2=1
    この式からb≠3なので a=1/{3(b-3)^2}
    1/5≦|f(-1)|≦1/3 から 1/5≦|a(b+1)^2|≦1/3
    a=1/{3(b-3)^2}を代入して 1/5≦|(b+1)^2/{3(b-3)^2}|≦1/3
    (b+1)^2/{3(b-3)^2}≧0 なので 1/5≦(b+1)^2/{3(b-3)^2}≦1/3
    これを解いて b≦-7-2√15, -7+2√15≦b≦1
    bは正の整数なので b=1
    逆に b=1 ならば f(x)=ax(x-b)^2 は他の条件をすべて満たす。

    よって条件を満たす三次関数は
    f(x)=-x^2(x-5)/18
    f(x)=-x^2(x-6)/27
    f(x)=-x^2(x-7)/36
    f(x)=-x^2(x-8)/45
    f(x)=x(x-1)^2/12
    の5個。
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