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(1)の計算過程からb[n+1]はf(b[n])を3で割った余りに等しくなります。
ここで題意の場合
b[n]=1,2
しか取りうることができず、又
f(1)=p+q+1
f(2)=4+2p+q
一方
1≦p≦3m (A)
1≦q≦3m (B)
により
3≦f(1)≦6m+1
7≦f(2)≦9m+4
a[1]=1よりb[1]=1に注意するとp,qに対する条件は
(i){b[n]}={1,1,1,..}となる場合、つまり
(A)(B)かつ
p+q+1=3k+1(k=1,..,2m)
つまり
p+q=3k(k=1,..,2m) (C)
(ii){b[n]}={1,2,2,..}又は{b[n]}={1,2,1,2..}となる場合、つまり
(A)(B)かつ
p+q=3k+1(k=1,..,2m) (D)
かつ
4+2p+q≠3l(l=3,...,3m+1) (E)
のいずれかになります。
(i)の場合
あるkに対する(p,q)の組の個数をn1[k]とすると
n1[k]=3k-1
∴(p,q)の組の総数をN1とすると
N1=∑[k=1～2m]n1[k]=3m(2m+1)-2m=m(6m+1) (F)
(ii)の場合
(D)を満たす(p,q)の総数をN21とするとN1の計算と同様にして
N21=∑[k=1～2m](3k)=3m(2m+1) (G)
一方(D)と
4+2p+q=3l(l=3,...,3m+1) (E)'
を連立で解くと
(p,q)=(3(l-k)-5,3(2k-l)+6)
これを満たす(p,q)の組の数をN22とすると
N22=… (H)
(自分で計算してみて下さい
これは
1≦k≦2m
1≦l≦3m+1
l-k≧2
2k-l≧-1
を満たす格子点(k,l)の数に等しくなります。
mが偶数か奇数かで場合分けが必要です。)
(G)(H)より求める総数をN2とすると
N2=N21-N22=…
以上から求める(p,q)の組の数は
N1+N2=…
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