 | 2007/10/06(Sat) 09:34:39 編集(投稿者)
やってできないことはありませんが、かなりややこしくなります。
alog(1+a)+e^b＞1+ab+b (A)
とします。
a+1=t
と置くと
(A)⇔(t-1)logt+e^b>bt
∴f(t)=(t-1)logt+e^b-bt
と置き、
b>0,t>1においてf(t)>0
を示します。
f'(t)=logt+(t-1)/t-b
f"(t)=1/t+1/t^2>0
∴f'(t)は単調増加であり
f'(t)>-b
又
lim[t→∞]f'(t)=∞
∴中間値の定理より
f'(T)=0,T>1
なるTが只1つ存在します。
このとき
logT=b-(T-1)/T (B)
b=logT+(T-1)/T (C)
∴f(T)=(T-1)logT+e^b-bT
=(T-1){b-(T-1)/T}+e^b-bT ((B)を代入)
=-{(T-1)^2}/T}+e^b-b
=-(T-1)^2/T+Te^{(T-1)/T}-logT-(T-1)/T ((C)を代入)
=-T+Te^{(T-1)/T}-logT+1
∴
(d/dT)f(T)=-1+e^{(T-1)/T}+(1/T)e^{(T-1)/T}-1/T
=(1+1/T){e^{(T-1)/T}-1}>0
従ってf(T)はT>1において単調増加であり
f(T)>-1+e^{(1-1)/1}-log1+1=1
以上からt>1におけるf(t)の増減表を描くことにより
f(t)>f(T)>1>0
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