 | 2007/10/05(Fri) 13:34:50 編集(投稿者)
問1)
n回のじゃんけんでAが勝つ回数をl[回],引き分けをm[回]とすると
Bの勝つ回数は
n-l-m
∴同じベンチに座っているとき
(l+1)+{(n-l-m)+1}=k+2
∴m=n-k (A)
(i)n≦k-1のとき
(A)よりm<0となりますので、
q=0
(ii)k≦nのとき
1回のじゃんけんでAが勝つ確率、負ける確率、引き分けの確率は共に
1/3
∴l=0,1,…,k
に注意して
I)1≦l≦k-1のとき
出会う確率は
{n!/(l!m!(n-l-m)!)}{(1/3)^l}{(1/3)^(n-l-m)}{(1/3)^m}
={n!/(l!(n-k)!(k-l)!)}(1/3)^n
=(nCk)(kCl)(1/3)^n
II)l=0のとき
n回目でAは必ず負けなければなりませんので
出会う確率は
{(n-1)!/(0!m!(n-1-0-m)!)}{(1/3)^0}{(1/3)^(n-0-m)}{(1/3)^m}
={(n-1)!/((n-k)!(k-1)!)}(1/3)^n
=(nCk)(k/n)(1/3)^n
II)l=kのとき
n回目でAは必ず勝たなければなりませんので
出会う確率は
{(n-1)!/((k-1)!m!(n-1-(k-1)-m)!)}{(1/3)^k}{(1/3)^(n-k-m)}{(1/3)^m}
={(n-1)!/((n-k)!(k-1)!)}(1/3)^n
=(nCk)(k/n)(1/3)^n
以上から
q=∑[l=1～k-1](nCk)(kCl)(1/3)^n+2(nCk)(k/n)(1/3)^n
={(nCk)(1/3)^n}∑[l=0～k](kCl)+2(nCk)(k/n)(1/3)^n-2(nCk)(1/3)^n
={(nCk)(1/3)^n}2^k+2(nCk)(k/n)(1/3)^n-2(nCk)(1/3)^n
={(nCk)(1/3)^n}(2^k+2k/n-2)
(2)
引き分けの回数をzとすると
x+y+z=n (A)
一方
p(x,y)={n!/(x!y!z!)}{(1/3)^x}{(1/3)^y}{(1/3)^z} (B)
(A)(B)より
p(x,y)={n!/(x!y!(n-x-y)!)}(1/3)^n
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