 | このような積分では，積分区間によって絶対値の外れ方が異なるので，それに注意して外すことが大切です．
ただ，その前にめんどくさいのでt=nxと置換しておきます．
I=lim[n→∞]∫[x:0→nπ] e^(-x)|sin(nx)|dx =lim[n→∞] 1/n*∫[t:0→n^2π] e^(-t/n)*|sint|dt
ここで，|sint|は，kπ≦t<(k+1)πにおいて
・k:偶数なら|sint|=sint
・k:奇数なら|sint|=-sint
なので，総合してkπ≦t<(k+1)π において|sint|=(-1)^k*sintとできる．
J[n]=∫[t:0→n^2π] e^(-t/n)*|sint|dt =Σ[k=0..n^2-1] (-1)^k*∫[t:kπ→(k+1)π] e^(-t/n)*sint dt
ここで，∫e^(-t/n)*sint dt=-n/(n^2+1)*{n*e^(-t/n)*cost +e^(-t/n)*sint}であり，(これは，計算してくださいね)
sin(kπ)=0，cos(kπ)=(-1)^kであることを考えると，
(-1)^k*∫[t:kπ→(k+1)π] e^(-t/n)*sint dt =n^2/(n^2+1)*(-1)^(k+1)*(-1)^(k+1)*[e^{-(k+1)π/n} +e^(-kπ/n)]={1+e^(-π/n)}*e^(-kπ/n)となり，
J[n]={n^2/(1+n^2)}*{1+e^(-π/n)}*Σ[k=0..n^2-1] e^(-kπ/n) ={n^2/(1+n^2)}*{1+e^(-π/n)}*{1-e^(-nπ)}/{1-e^(-π/n)}
I=lim[n→∞] (1/n)*{n^2/(1+n^2)}*{1+e^(-π/n)}*{1-e^(-nπ)}/{1-e^(-π/n)}
で，n→∞に対して，n^2/(1+n^2)→1，1+e^(-π/n)→2，1-e^(-nπ)→1であることから，
I=lim[n→∞] 2*(1/n)/{1-e^(-π/n)}とまで計算される．
ここで，h=-π/nとすると，n→∞でh→0より，
I=2* lim[h→0] πh/(e^h -1)=2π (∵lim[h→0] (e^h -1)/h=1の公式)．
どこかで，計算間違いしてたらごめんなさい．
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