数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 整式の問題 / Page: 0]

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■28370 / inTopicNo.1)

　整式の問題

□投稿者/ satsuma 一般人(10回)-(2007/10/03(Wed) 22:29:22)

f(x)はn次(n≧1)の整式であり、
$2$f(k)=\displaystyle \frac{1}{k+1}$ (k=0,1,2…n)
が成立するとき、f(n+1)の値を求めよ。

という問題が分かりません。
分母を払って(k+1)f(k)=1となるので、
g(x)=(x+1)f(x)-1を考え、
g(x)はx,x-1,x-2,…x-kを因数に持つので、実数a(≠0)を用いて
g(x)=ax(x-1)(x-2)…(x-k)
とやれば、なんとか出来そうな気がするのですが、aの値が求まらず、挫折しています。
どなたか教えてください。よろしくお願い致します。

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■28372 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 整式の問題

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□投稿者/ だるまにおん大御所(389回)-(2007/10/03(Wed) 23:16:54)

xに-1を代入すればaの値が分かるのでは？

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■28374 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 整式の問題

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□投稿者/ satsuma 一般人(11回)-(2007/10/04(Thu) 00:15:01)

なるほど。確かにそうですね。あぁなんで気付かなかったんだろう。
一生懸命1～nまで入れてた。あぁホント未熟ですね。
一応計算してみましたがどうでしょうか。

$2$g(x)=(x+1)f(x)-1$
$2$g(x)=ax(x-1)(x-2)\cdots(x-n)$
$2$g(-1)=(-1+1)f(x)-1=-1$
$2$g(-1)=a(-1)(-2)(-3)\cdots\{-(1+n)\}=a(-1)^{n+1}(n+1)!$
$2$a(-1)^{n+1}(n+1)!=-1\displaystyle \Leftrightarrow a=\frac{1}{(-1)^{n}(n+1)!}$
$2$(x+1)f(x)=g(x)+1=\displaystyle \frac{x(x-1)(x-2)\cdots(x-n)}{(-1)^{n}(n+1)!}+1$
$2$(n+2)f(n+1)=\displaystyle \frac{(n+1)n(n-1)\cdots 1}{(-1)^{n}(n+1)!}+1=\frac{1+(-1)^{n}}{(-1)^{n}}$
$2$f(n+1)=\displaystyle \frac{1+(-1)^{n}}{(-1)^{n}(n+2)}$

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■28377 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 整式の問題

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□投稿者/ だるまにおん大御所(391回)-(2007/10/04(Thu) 00:51:39)

良いと思います。

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■28384 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 整式の問題

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□投稿者/ らすかる大御所(883回)-(2007/10/04(Thu) 01:29:29)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

(n+2)f(n+1)={1+(-1)^n}/(-1)^n
は、分子分母に(-1)^nを掛ければ
(n+2)f(n+1)={1+(-1)^n}/(-1)^n=(-1)^n{1+(-1)^n}/{(-1)^n}^2=(-1)^n+1
となりますので
f(n+1)={(-1)^n+1}/(n+2)
と少し簡単になりますね。

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■28404 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 整式の問題

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□投稿者/ satsuma 一般人(12回)-(2007/10/04(Thu) 23:15:31)

>>だるまにおんさん、らすかるさん
どうも有難うございました。あぁこんな自分がいやになってくる。。
お騒がせ致しました。。

解決済み!

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