数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 図形と方程式 / Page: 0]

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■28321 / inTopicNo.1)

　図形と方程式

□投稿者/ ペコ一般人(1回)-(2007/10/01(Mon) 05:46:45)

放物線y=x^2上の異なる３点Ａ(a,a^2) B(b,b^2) O(0,0)を考える。ただし、a<bとする。
(1)∠AOBが垂直になるための条件をa,bを用いて表せ。
(2)a,bが(1)の条件を満たすとき,△AOBの面積を最小にするようなa,bの値を求めよ。
(3)a,bが(1)の条件を満たすとき,四角形AOBCが長方形になるように点Ｃを定める。点Ｃの軌跡を図示せよ。

という問題なんですが、(1)はab=-1になったんですが、(2)(3)が分りません；；
お願いします！！（相加平均≧相乗平均を使うのでしょうか？？）

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■28322 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 図形と方程式

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□投稿者/ X 付き人(52回)-(2007/10/01(Mon) 09:50:47)

(2)
>>（相加平均≧相乗平均を使うのでしょうか？？）
その通りです。

OA⊥OB
ですので△ABCの面積をSとすると
S=(1/2)OA・OB
=(1/2){√(a^2+a^4)}√(b^2+b^4)
=(ab/2)√{(1+a^2)(1+b^2)}
=(ab/2)√{(1+a^2+b^2+(ab)^2} (A)
ここで相加平均と相乗平均の関係から
a^2+b^2≧2√{(a^2)(b^2)}
(等号成立はa^2=b^2のとき)
a≠bに注意すると
a^2+b^2≧2|ab| (B)
(等号成立はa=-bのとき)
(A)(B)と(1)の結果を使うと…。

(3)
これはベクトルを使うと計算が少し楽なのですが、敢えて数Iの範囲で回答しておきます。
条件から
BC//OA
CA//OB
∴直線OB,CAの方程式はそれぞれ
y=(a^2/a)(x-b)+b^2
y=(b^2/b)(x-a)+a^2
つまり
y=ax+b^2-ab (C)
y=bx+a^2-ab (D)
∴C(X,Y)とすると(C)(D)をx,yの連立方程式として解くことにより
X=a+b (E)
Y=a^2+b^2 (F)
(E)と(1)の結果を(F)に用いてa,bを消去します。

注)
(E)と(1)の結果よりtの二次方程式
t^2-Xt-1=0 (G)
は異なる実数解a,bを持たなければいけませんので(G)の解の判別式をDとすると
D=X^2+4>0 (H)
(H)よりXは任意の実数となります。
(今回はX,Yの範囲が限定されませんが、問題によっては例えば
-1<X<4
といったように範囲が限定される場合があります。
X,Yの値の範囲を求めるために、a,bの実数条件は必ず確かめましょう。)

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■28331 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 図形と方程式

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□投稿者/ ペコ一般人(2回)-(2007/10/01(Mon) 16:01:54)

ご丁寧に説明していただき有難うございました。

理解することができました！！

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