数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: ベクトル / Page: 0]

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■28318 / inTopicNo.1)

　ベクトル

□投稿者/ ゆめ吉一般人(1回)-(2007/10/01(Mon) 01:50:33)

一辺の長さが1の正四面体OABCがある。OAの中心をL,OBを2：１に内分する点をM，OCを1:2に内分する点をNとする。
(1)三角形ABCの重心をGとし、OGと平面LMNとの交点をEとするとき、↑OEを↑OA,↑OB,↑OCを用いて表せ。
(2)三角形LMNの面積を求めよ。

宿題なのですが分からないので教えてください。

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■28324 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ベクトル

▲▼■

□投稿者/ gaku 一般人(41回)-(2007/10/01(Mon) 10:07:47)

矢印を省略します。
OA=a，OB=b，OC=cとすると，
OL=1/2a，OM=2/3b，ON=1/3c
Eは△OMN上の点だから，OE=pOL+qOM+rON(p+q+r=1)と表すことができる。
よって，OE=1/2pa+2/3qb+1/3rc

Gは△ABCの重心なので，OG=1/3(a+b+c)
OEはOGの実数倍であるから，1/2p=2/3q=1/3r
これとp+q+r=1より，p=4/13，q=3/13，r=6/13
よって，OE=2/13a+2/13b+2/13c

△LMN=Sとすると，
$2$S=\frac12\sqrt{|\vec{MN}|^2|\vec{ML}|^2-\left(\vec{MN}\cdot\vec{ML}\right)^2}$
$2$|\vec{a}|^2=|\vec{b}|^2=|\vec{c}|^2=1$ ， $2$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{a}=\frac12$
を利用する。

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